Список форумов Война Война

 
 FAQFAQ   ПоискПоиск   ПользователиПользователи   ГруппыГруппы   РегистрацияРегистрация 
 ПрофильПрофиль   Войти и проверить личные сообщенияВойти и проверить личные сообщения   ВходВход 

Important Notice: We regret to inform you that our free phpBB forum hosting service will be discontinued by the end of June 30, 2024. If you wish to migrate to our paid hosting service, please contact billing@hostonnet.com.
Основания математики

 
Этот форум закрыт, вы не можете писать новые сообщения и редактировать старые.   Эта тема закрыта, вы не можете писать ответы и редактировать сообщения.    Список форумов Война -> Научное
Предыдущая тема :: Следующая тема  
Автор Сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 4:47 pm    Заголовок сообщения: Основания математики Ответить с цитатой

Основания математики, совокупность понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные математические дисциплины, а также комплекс математических и философских теорий и направлений, посвященных исследованию этих понятий, концепций и методов. См. ст. Математика, раздел Современная математика.


Теоре́ма Гёделя о неполноте́ и втора́я теоре́ма Гёделя[~ 1]
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теоремы_Гёделя_о_неполноте
Цитата:
— две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение.

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой теории.

Эти теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1930 году (опубликованы в 1931) и имеют непосредственное отношение ко второй проблеме из знаменитого списка Гильберта.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Проблемы_Гильберта


Дано:
Теорема Гёделя о неполноте
http://elementy.ru/trefil/21142
Цитата:
В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель — взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:


«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой,или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга.

Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером.

Смысл его рассуждения прост.

Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются.

Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта.

По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда.

Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?




Исследование интерпретаций:
L. Fregimus Vacerro
Гедель 1
2009.12.10 at 9:33 PM
http://fregimus.livejournal.com/80970.html

Цитата:
I. Введение

Часто приходится слышать, будто бы некая «теорема Геделя» якобы доказывает, что процессы в сознании вообще и мышление в частности не могут быть алгоритмизированы и смоделированы на вычислительной машине. Многие пускаются в весьма пространные рассуждения, будто бы доказывающие это. Во всех этих рассуждениях непременно обнаруживается логический изъян. Несмотря на обилие таких рассуждений, безупречного доказательства того, что вычислительные формализмы не способны охватить когнитивные процессы, не существует. Не существует, однако, и доказательства обратного — что сознание описуемо формальной системой; к этому мы обратимся в самом конце.

Нам следует разобрать несколько «опровержений» вычислимости сознания и найти в них логические ошибки. Чтобы понять их, однако, вначале нам потребуется разобраться, что же такое теоремы Геделя, о чем говорят эта теоремы, и о том, насколько применим их объект к понятиям о реальном сознании.

Тема эта достаточно обширна, так что нам стоит разбить ее на цикл из нескольких статей, где бы мы могли остановиться на ключевых моментах подробнее. Надеюсь, что этот рассказ будет понятен всем, даже тем, кто далек от математики и когнитивистики. Мы не будем заниматься математикой, мы будем играть в кубики, и еще просто рассуждать. Мы же все умеем это с детства, так что даже ничего нового нам делать не придется. Если по ходу изложения у вас появятся вопросы или сомнения, понимаете ли вы предмет верно, обязательно спрашивайте; буду очень рад ответить возможно подробнее.

II. Библиография

Предмет, о котором мы будем говорить, много лучше и подробнее освещается в книгах; если вы хотите вникнуть в тему глубже, чем позволит короткая статья здесь, лучше обратиться к следующим работам. Вероятно, читать их имеет смысл именно в этом порядке, хотя многое зависит от подготовки и специальных знаний читателя.

1. Хофштадтер Д. Гедель, Эшер, Бах. Самара : Бахрах-М, 2001. Книга эта подобна фуге, где параллельные голоса создают гармонию смыслов. Одна из тем — рассказ о теоремах Геделя и неразрешимости.

2. Подниекс К. М. Вокруг теоремы Геделя. Рига : Зинатне, 1981. Это замечательное математическое введение в теоремы Геделя; там же вы найдете их доказательство, которое мы здесь разбирать не будем. О применимости их к сознанию, однако, в книге не говорится.

3. Franzén T. Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. Wellesley, Mass. : AK Peters, 2005 (спасибо alexey_rom за ссылку). Книга написана несколько менее популярно, чем [1], и требует определенных математических знаний, но в ней разбираются и те вопросы, что мы разбираем сейчас.

III. Смертен ли Сократ?

Теоремой или теоремами Геделя обычно называют совокупность утверждений о неполноте арифметик, начало которым было положено Куртом Геделем в работе, опубликованной в 1931 г., а затем значительно усиленных другими математиками; в частности, более сильное утверждение, которое чаще всего сегодня и называют теоремой Геделя (в единственном числе) доказано Баркли Россером, учеником Алонцо Черча, в 1936 г.

Чтобы понять теорему Геделя, сначала следует разобраться в предмете, котором она говорит, а говорит она о формальных системах (ФС). ФС, как следует из их названия, имеют дело с формой. Понятие формы, отдельно рассматриваемой от сущности предмета, восходит к философии Аристотеля; он же и изобрел формализмы — силлогизмы:

Каждый человек смертен.
Сократ — человек.
Следовательно, Сократ смертен.

Силлогизм задает правила для операции над верными утверждениями для получения верных же утверждений. Правило построения силлогизма — формальное, лишенное содержания, в которое можно подставить любые, внешние по отношению к силлогизму утверждения:

Все P есть Q.
R есть P.
Следовательно, R есть Q.

Мотив разделения формы и смысла будет центральным в нашем повествовании. Обратите внимание еще раз: сам по себе формальный силлогизм никакого смысла не имеет: вывод «следовательно, R есть Q» совершенно бессмыслен, покуда R и Q не заменены на определенные высказывания. В то же время, смысл возникает при интерпретации формализма, но не в самом формализме. Мы, снаружи формализма, придаем высказываниям смысл. Мы говорим, что все люди смертны, и что Сократ есть человек. После этого мы берем Аристотелев формализм — как инструмент — и подставляем в него эти утверждения, и получаем вывод: Сократ смертен. Где возникает этот вывод? Следите сейчас очень внимательно: этот вывод не возникает в формализме, он возникает лишь при интерпретации результата исполнения формальной процедуры! Формализм лишь выдает предложение, строчку текста: «Сократ смертен». Однако, сами по себе понятия «Сократ» и «быть смертным» существуют лишь вне формализма, в сознании интерпретирующего.

Чтобы понять это, давайте проведем один очень опасный мысленный эксперимент: запустим вычислительную программу составления силлогизмов, и попытаемся получить с ее помощью пример Аристотеля.

Введите P: человек
Введите Q: смертен
Введите R: Сократ

В этот момент программа ненадолго зависает. Тут неожиданно мы с вами и со всем человечеством гибнем оттого, что на Землю приземляется корабль ужасно радиоактивных пришельцев. Огорченные пришельцы подходят к компьютеру, который как раз выдает последнюю строчку результата:

Сократ смертен

Радиоактивные пришельцы на самом деле обладают одним бессмертным «я» на всех, как Борг из «Звездного пути», но называют себя, по случайному совпадению, не Боргом, а Сократом. Верное на наш взгляд утверждение оказывается для них прямо ложным. Выходит, истинность утверждения зависит от этого самого взгляда. Формализм генератора верных утверждений из верных посылок сработал, но верного по смыслу утверждения не выдал — потому, что нет того, кто бы интерпретировал посылки и утверждение как истинное. Со сменой точки зрения и предпосылка «Сократ есть человек», и вывод «Сократ смертен» превращаются из истинных в ложные.

На этом закончим наш опасный мысленный эксперимент и оживем, но запомним, что смысла формальные системы не содержат и не производят, а затем немного поиграем в кубики.

IV. Кубики для взрослых

Построим простую ФС, которую будем называть «система ХИХИ»1. Возьмем неограниченный запас кубиков или табличек с буквами Х, А, И. Хоть общее число кубиков неограниченно, но на них встречаются только три этих буквы. Множество { Х, А, И } называется лексическим множеством или алфавитом ФС. Алфавит системы должен быть, по правилам игры в кубики, конечным множеством.

Из кубиков можно составить строки ФС. Например, из наших кубиков можно сложить строки ХИХИХИ, ИАИА, ХХХХХХ и АХ. Эти строки будут лексически верными. Строка АГА, в то же время, не является лексически верной, потому что Г не входит в алфавит системы ХИХИ.

Кроме того, строки ФС должны быть синтаксически верными. Далее для краткости будем говорить просто верные строки, имея в виду, что они и синтаксически, и, как из того естественно следует, лексически верные. Верные строки определяются двумя способами, которые обычно используются вместе.

Во первых, зададим начальное подмножество верных строк извне, по нашему произволу 2. Для нашей игры в кубики скажем, что строка ХИ верна3.

Во-вторых, введем несколько правил замены строк. Эти правила строго формальны — их легко исполнять не задумываясь, а задачу запрограммировать их на компьютере решит любой школьник на «пять». Важно помнить, что эти правила верны только для верных строк: из верной строки получается верная. К неверным, синтаксически или, еще страшнее того, лексически недопустимым строкам эти правила применять запрещается. Набор правил всегда конечный: «правила, порождающие правила» не разрешаются. Для нашей системы введем следующие правила4:

1. К любой строке, заканчивающейся на И, можно дописать в конец А. Пример: ХИХИ → ХИХИА.
2. Подстроку, следующую за Х {доб. до конца всей строки}, можно удвоить: ХИ → ХИИ, ХАХИ → ХАХИАХИ, ХАХИ → ХАХИИ.
3. Три И подряд можно заменить на А: ХИИИИ → ХИА, ХИИИИ → ХАИ.
4. Две А подряд можно выбросить: ИААХ → ИХ, ИАААИ → ИАИ.

Начиная с заданных верных строк и применяя правила вновь и вновь к каждому очередному результату, будем получать все больше и больше верных строк, например,

ХИ → ХИИ (правило 2),
ХИИ → ХИИИИ (опять 2),
ХИИИИ → ХАИ (3),
ХАИ → ХАИА (1),

и так далее. Все строки справа от стрелки получены применением формальных правил из верных строк, и, стало быть, верны по определению. Вы уже заметили, что в выборе правил есть произвол. К примеру, к строке ХАХИИИАААИИИ можно применить любое из четырех правил, причем все, кроме первого, еще и более чем одним способом. В этом нет ничего запрещенного, поскольку обычно нас интересует вопрос, является ли некая данная строка верной, то есть можно ли ее получить из других верных строк ФС, применяя любые из правил любым возможным способом.

Имеется счетное множество5 всех строк, которые порождаются ФС. Доказательство того, что это множество счетно, я опускаю, но запомним, что все верные строки, порождаемые ФС, можно пронумеровать натуральными числами. Этот результат нам будет важен.

Здесь нам следует еще раз вспомнить о том, что никакого смысла в верных строках ФС нет. ФС может служить инструментом для переработки смыслов, вкладываемых в строки извне системы, но она ни содержит, ни производит смысла. Слова, сложенные из кубиков, не имеют никакого особого значения: это только слова, сложенные из кубиков.

Перед тем, как мы перейдем к следующей части, попробуйте продолжить нашу игру в кубики. Требуется определить, является ли ХА верной строкой в системе ХИХИ. Либо в ее произведете по правилам 1—4 из других заведомо верных строк (в нашем случае из заведомо верной строки ХИ), либо докажете, что этого сделать невозможно. Решение — или, не огорчайтесь, даже попытка решения этой задачи сразу даст вам почувствовать, какие сложности возникают даже в таких простых ФС, как наша система ХИХИ.

Продолжение следует.
__________________________________
⇧ 1. Hofstadter 1999, p. 33.

⇧ 2. Это множество может быть конечным или даже бесконечным. Бесконечное множество может получаться из правила, например, в некоей системе, где Ы входит в алфавит, строки любой длины из Ы могут быть объявлены верными. Такие правила называются схемами.

⇧ 3. Не удивляйтесь, что мы обойдемся без обычных в описании ФС терминов «аксиома» и «теорема», которые скорее внесли бы в это популярное изложение путаницу, нежели ясность, отсылая читателя к омонимичным, но иным понятиям школьной математики.

⇧ 4. Те, кто интересуется формальными грамматиками, должны заметить, что правила представляют собой контекстно-зависимую грамматику. Не любая ФС обладает контекстно-свободной грамматикой (КСГ), потому что вычислительная мощность ФС та же, что и у машины Тьюринга и, следовательно, неизбежно превышает таковую стековой машины, выражающей КСГ.

⇧ 5. Счетное множество возможно бесконечно, но его элементы можно перенумеровать натуральными числами — разумеется, применяя определенное правило. К примеру, множество целых чисел счетно, а нумеровать их можно так: у числа 0 будет номер 1, у 1 номер 2, у −1 номер 3, у 2 номер 4, и так далее: у положительных четные номера, у соответствующих отрицательных нечетные на единицу больше.

Кантор доказал, что множество рациональных дробей, то есть чисел вида p/q, где p и q натуральные числа, тоже счетно, придумав элегантный способ пронумеровать их. Этот способ называется «диагональным аргументом». Попробуйте и вы придумать такой способ. Счетность множества верных строк тоже доказывается диагональным аргументом.


154 comments


Последний раз редактировалось: us998 (Пт Янв 08, 2010 4:52 pm), всего редактировалось 1 раз
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 4:51 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Гедель 2
L. Fregimus Vacerro
2009.12.14 at 3:07 AM
http://fregimus.livejournal.com/81395.html
Цитата:
V. Кубики со смыслом

Никакого смысла в строках системы ХИХИ нет. Математика — игра ума. Математики любят играть в кубики и смотреть, как ведет себя система из кубиков, правила которой придуманы произвольно, но жестко соблюдаются. Эта игра интересна сама по себе; никакой другой ценности от нее математику не требуется.

Интересно, однако, понять, какое место занимают ФС в ряду прочих математических инструментов. Чтобы ФС «заговорила» о математике, нам потребуется наделить строки ФС смыслом. Смысл этот мы присваиваем только результату работы ФС; на самом процессе ее работы он не сказывается. Смысл этот, таким образом, определяется снаружи ФС.

Как осмыслить результат работы системы ХИХИ, я не представляю. Это не значит, что смысла нет, или что он есть, но неизвестен. Смысл мы придаем строкам по желанию, любые утверждения о его существовании бессодержательны. Возможно, что кто-то сопоставит строки этой системы с другим математическим объектом, и это даст толчок какой-то новой его идее.

Мы же сейчас рассмотрим другую ФС. Ее алфавит состоит из трех символов: { •, §, # }. Единственную строку •§•#•• будем считать верной по определению. Введем следующие два правила получения новых верных строк:

1. К верной строке можно приписать слева и справа по •, например, из верной строки •§•#•• выйдет по этому правилу ••§•#•••
2. Слева и справа от символа # в верной строке можно вставить по •: из строки •§•#•• получится •§••#•••

Применяя эти правила по очереди в разных сочетаниях, можно получить, например, такие строки (все они будут верными):

••§•••#•••••
••••§•#•••••
•••§•••#••••••

Вы наверняка уже заметили, что если заменить число звездочек на натуральное число и понимать § как операцию сложения, а # как равенство, строки эти можно осмыслить как 2+3=5, 4+1=5, 3+3=6. Я нарочно не сделал + и = символами алфавита нашей системы, а выбрал для этого § и #, чтобы подчеркнуть, что мы осмысливаем § как +, а # как = вне системы.

Кроме того, возможно и иное осмысление. Введем операцию «отнять от» и обозначим ее ÷, например, 1 отнять от 5 даст 4: 1÷5=4. Теперь мы можем задать иной смысл формальному результату: заменим § на =, а # на ÷, и получим тогда верные арифметические выражения: 2=3÷5, 4=1÷5, 3=3÷6.

Формальную систему можно осмыслить множеством способов — насколько хватит фантазии играющего в кубики.

Нелишне будет нам еще раз вспомнить, что результат работы ФС, все ее строки, можно пронумеровать натуральными числами6. Эта нумерация, само собой, тоже происходит вне системы: система не нумерует строк, это мы с вами, находясь за границей системы, их нумеруем.

VI. Семантика

До сих пор, мы четко разграничивали формальную («внутреннюю») и интерпретационную («внешнюю») стороны ФС. Сейчас мы с вами построим из ФС и ее избранной интерпретации новый объект, формальную систему со смыслом, или семантикой (ФСС). Каждый раз, когда вы читаете фразу «ФС говорит, что…», «ФС утверждает…», вы имеете дело с ФСС, включающей некоторую интерпретацию ее строк. Такие выражения — совершенно общее место в литературе. Мы, тем не менее, не случайно заострили внимание на различении синтаксиса системы (механических правил преобразования символов) и ее семантики — слоя, положенного поверх синтаксиса и предназначенного для осмысления результата ее работы.

Синтаксис ФС заключен в себе. Это означает, что нам ничего не стоит написать компьютерную программу, которая выполнит все преобразования строк. Семантика ФСС, с другой стороны, не замыкается на себя, но неизбежно обращается к другим понятиям. Чтобы осознать это, рассмотрим осмысление нашей предыдущей ФС в виде ФСС, описывающей сложение натуральных чисел.

Итак, договоримся, что звездочки • означают запись числа в единичной системе: количество звездочек означает натуральное число, равное этому количеству. К каким понятиям мы обратились здесь? Понятия натурального числа и количества. Количество мы, возможно, формализуем, но, опять же, через понятие натурального ряда (нам потребуются числа и операция увеличения на 1, или перехода к следующему числу в ряду). Таким образом, первое же наше смысловое правило привнесло внешнее понятие, именно, понятие натурального ряда, которое мы знали ранее.

Теперь определим § как операцию сложения, а # как равенство, как мы уже делали ранее. Это привнесет новые, уже знакомые нам арифметические понятия сложения натуральных чисел и сравнения их между собой. Результатом сложения является натуральное же число, например, складывая 3 и 4, получим 7. Результатом сравнения чисел может быть одно из двух значений: истина или ложь. Например, утверждение 2=2 истинно, а 2=5 ложно.

Легко показать, что наша ФСС производит все верные выражения для сложения натуральных чисел, и не выдает ни одного неверного7.

Давайте взглянем внимательно, как проходит наша новая, семантическая граница, что находится теперь внутри и вовне ФСС. Утверждение 2+2=4 выводится внутри семантики ФСС, той предметной области, в которой определена наша смысловая интерпретация. Однако, утверждение «2+2=4 истинно» лежит вовне нашей новой системы. Когда мы говорим о семантической интерпретации, следует отличать истинность, которую мы определяем для себя, сравнивая результат осмысления строк системы с «внешним миром», и выводимость, возможность получения строки-утверждения в ФС. Выводимость утверждения (в семантической области мы называем строки утверждениями) определяется формализмом системы. Истинность же «на самом деле» система сама по себе не утверждает; любое «на самом деле», какой бы смысл ни вкладывался в эти слова, находится всегда вовне системы.

Это утверждение, если мы с вами рассуждаем о такой простой системе, конечно же, тривиально. В дальнейшем, однако, когда мы рассмотрим более сложную ФСС, вынесение «истинности» за границу системы создает серьезные диалектические вопросы в понимании математики.

VII. Элементарная арифметика

ФСС, которую мы рассмотрели, порождает результат чрезвычайно тривиальный: перечисление всех выражений вида a+b=c с конкретными числами. Однако, далеко не все формальные системы так просты. Назначая правила синтаксиса и базовую семантику символов, мы можем получить и систему, которая, как оказывается, выводит теоремы элементарной арифметики!

Тоже мне, скажете вы, особое достижение — элементарная арифметика! Это ведь то, что мы к третьему классу уже все знали, сложение-умножение? Нет, неверно. Младшеклассникам, изучающим арифметику в школе, показывают даже не краешек, а тень этой математической горы! К элементарной арифметике (ЭА) относятся, например, задачи решения диофантовых уравнений, изучение простых чисел, и очень многое другое. К примеру, Великая теорема Ферма, остававшаяся недоказанной несколько веков, тоже относится к области арифметики. Вся современная компьютерная криптография имеет в своей научной основе арифметику. А элементарной мы называем такую систему арифметики вовсе не потому, что она очень простая, а потому, что она не требует основания в других разделах математики, строится на основе своих собственных аксиом. Геометрия Эвклида тоже будет в этом смысле элементарной геометрией, потому что она не требует для основания ничего, кроме своих собственных понятий и аксиом.

Так же, как и в геометрии, где не определяются некоторые понятия, например,точки или прямой, в арифметике тоже есть неопределимые понятия. Одно из них — интуитивно знакомое всем натуральное число. Хоть нам все интуитивно известно, что такое число, никакого определения числа арифметика не дает. Аксиомами задаются лишь их свойства, такие, как «для каждого числа есть ровно одно последующее число», «1 не следует ни за каким числом» и прочие. Устройством своих основ ЭА напоминает геометрию; хотя последней уделяется в школе определенное внимание, аксиоматическое определение арифметики в школе не упоминается вовсе.

В число теорем арифметики включаются, разумеется, и утверждения, широко известные под именем собственно теорем («для любого натурального числа существует превышающее его простое число»), и более частные утверждения, возникающие при решении отдельных задач («не существует трех простых чисел, больших 3, подряд через одно», т. е. для любого простого числа p>3, по крайней мере одно из p+2 и p+4 не является простым), и совсем уж тривиальные, не интересные, на первый взгляд, утверждения (например, «для любого числа а, 0+а=а»).

В этом популярном изложении не найдется места детальному описанию ФСС, производящей теоремы ЭА. Если вас интересуют подробности ее работы и устройства, лучше обратиться к [1] за популярным изложением или к [2] за глубоким математическим изъяснением предмета. Мы ограничимся только общими принципами ее построения, и сама теорема Геделя будет объяснена лишь «на пальцах», без надлежащих стройных формулировок и строгих доказательств.

Продолжение следует.

__________________________________
⇧ 6. Подумайте, как можно пронумеровать строки, порождаемые нашей системой.

⇧ 7. Попробуйте, в качестве упражнения, доказать это.



53 comments
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 4:55 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Гедель 3
L. Fregimus Vacerro
2009.12.18 at 3:52 AM
http://fregimus.livejournal.com/81493.html
Цитата:
VIII. Машина доказательств

ФСС элементарной арифметики (ФСЭА), как мы уже знаем, производит строки, интерпретируемые как утверждения арифметики. Она содержит аксиомы, начальные верные строки, и выводит новые строки — теоремы. Мы не будем рассматривать конкретные аксиомы8 и правила вывода новых строк из уже выведенных; нам достаточно помнить, что они заданы. В алфавит ФСЭА входят символы для кодирования чисел и переменных, операции + и ×, сравнение =, скобки, кванторы существования E и всеобщности A (мне придется обозначить их латинскими буквами из-за типографских ограничений), и логическое отрицание ~. Числа кодируются в такой же «единичной» системе, какую мы уже рассматривали, количеством «звездочек». Так же кодируются и переменные, только начинаются они со специального символа переменной x: вместо x, y, z, a, b система выдает x•, x••, x••• и т. д. В примерах ниже мы, однако, будем записывать числа в десятичной записи, а переменные буквами.

Примеры утверждений, которые выводит ФСЭА:

Ex:x×2=6

Здесь говорится, что число 6 четно (найдется такое число x, что 2×x=6)

~Ex:Ey:(x+1)×(y+1)=13

13 простое число: не существует таких x и y, что (x+1)×(y+1)=13. Прибавление единицы требуется, чтобы каждый сомножитель был больше 29.

Ax:Ea:~Eb:Ec:(x+a)=(b+1)×(c+1)

Здесь утверждается, что существует бесконечно много простых чисел. Следует читать это так: для любого x найдется a такое, что не существует таких b и c, чтобы равенство (x+a)=(b+1)×(c+1) выполнялось. Иными словами, для каждого x найдется такое a, что (x+a) будет простым числом. Поскольку a>0, то и x+a>x: какое число x ни возьми, найдется простое число, еще большее.

В образовании смысла строк мы следуем правилам, которые мы же сами установили для их интерпретации. Например, «~» мы читаем «неверно, что», A как «для всех», E как «для одного или более», «:» как «верно следующее:», и так далее. Тогда утверждения, выводимые ФСЭА, становятся теоремами. Являются ли они «истинными»? Здесь нужно задуматься о понятии истинности.

Мы изначально полагаем аксиомы истинными, верными утверждениями. Их запись в виде строк ФСЭА интерпретируется именно так, как мы того хотим, с тем смыслом, которые мы в них закладывали, когда придумывали эти строки10. Являются ли истинными в этом смысле и теоремы? Ровно настолько, насколько мы можем доверять формальному механизму вывода, аппарату формальных систем.

На поверхности кажется, что этот механизм работает надежно. Можно увидеть, как выводятся приведенные выше утверждения, которые мы понимаем как верные в арифметике. Но ведь теорем, которые производит ФСЭА, бесконечно много. Поэтому мы должны поставить вопрос «доверия» к нашей механике вывода. В ФСС сложения чисел доказательство было довольно простым, однако, ФСЭА намного сложнее, и ее «правильность» отнюдь не очевидна.

Вопросы касательно ФСЭА, которыми мы зададимся, следующие. Во-первых, нас интересует, все ли возможные теоремы арифметики выведет наша машина? Например, будет ли среди ее строк доказательство Великой теоремы Ферма? Предположения Гольдбаха? Свойство, которое нас интересует, мы назовем полнотой системы: система полна, если она выводит, в интерпретации смысла, все истинные утверждения в некоей области.

Второй, еще более важный вопрос, который нас волнует: не произойдет ли так, что два утверждения, полученных ФСЭА, будут противоречить одно другому? Например, одним путем мы получим утверждение, что предположение Гольдбаха истинно, а другим — что оно ложно. Такое нарушение будет фатальным для всей системы арифметики: из противоречия можно вывести все, что угодно! Это легко показывается в формальной логике. Из такого противоречия следует, что 0=1, что 2×2=5, что простых чисел не существует, что их существует конечное количество, что количество простых чисел бесконечно — все, что пожелаете. Противоречия в выведенных теоремах ни в коем случае быть не должно. Свойство системы не выдавать противоречивых (в интерпретации смысла) утверждений назовем непротиворечивостью.

Является ли элементарная арифметика полной и непротиворечивой теорией? Над этим вопросом работали великие математики начала XX в. Попытка вывести самообоснованность теории множеств тогда потерпела неудачу11. В ответ на это Давид Гильберт сформулировал в начале 20-х гг. программу по поиску способа вывода всех математических утверждений из аксиом путем механической вычислительной процедуры. Формулировка требований, заданных Гильбертом к аксиомам и процедурам математики, такова: требуется найти (а) процедуру, которая бы выводила все без исключения истинные математические утверждения, и только истинные, из заданного однажды набора аксиом; (б) самый набор этих аксиом и (в) алгоритм доказательства любого наперед заданного утверждения, чтобы определить за конечное время, возможно ли вывести это утверждение из аксиом (в таком случае, оно истинно) или нет (и тогда оно ложно).

Таким образом, Гильберт сформулировал задачу поиска, в наших терминах, полной и непротиворечивой формальной системы арифметики, и дополнил ее требованием конструктивной вычислимости 12принадлежности лексически верной строки множеству синтаксически верных строк.

Над реализацией этой программы математики работали еще 10 лет, до тех пор, пока Курт Гедель не обнаружил фундаментальное свойство формальных систем, которое предопределило неудачу программы Гильберта и невозможность аксиоматизации математики.

IX. Бета-код Геделя

Рассуждение Геделя основано на арифметическом кодировании алфавита, строк и правил ФС. В самом деле, мы можем закодировать алфавит ФС числами. Когда мы это сделаем, правила переписывания строк ФС можно записать в виде арифметических операций над числами. О любом числе можно задать вопрос, является ли это число кодом лексически верной строки в данной ФС. Если ответ на него положительный, далее можно спросить, является ли это число также и кодом синтаксически верной строки. Если да — то мы имеем дело, на семантическом уровне, с кодом теоремы арифметики. Таким образом, выходит, что среди чисел есть подмножество кодов теорем арифметики. Множество всех остальных чисел можно назвать множеством не-теорем арифметики (либо они лексически недопустимы, либо не выводимы системой). Будем называть числа вычислимыми формальной системой, если они выводимы нашей закодированной числами ФС.

Для примера, закодируем нашу первую систему ХИХИ в виде чисел: заменим Х на 1, И на 2, А на 313. Начальная верная строка ХИ тогда первращается в число 12. Теперь перепишем на языке чисел правила системы.

1. К любому числу, заканчивающемуся на 2, можно дописать в конец 3. Математически это можно выразить так: если n вычислимое число, и остаток от деления его на 10 равен 2, то 10×n+3 тоже вычислимое число.

2. Любую «подстроку», следующую за 1, можно «удвоить». Операции «взятия подстроки» и «удвоения», разумеется, следует записать арифметически. Пусть наше число содержит в середине или в начале 1 (пример 23132). Часть, заканчивающуюся 1 (231 в примере) запишем как m×10+1, где m≥0 (в нашем примере m=23). Чтобы приписать к этому числу «хвост» (32), умножим его на 10n, где n — длина «хвоста» (у нас n=2, 10n=102=100): (m×10+1)×10n, в нашем примере это будет 23100, а затем просто прибавим «хвост», то есть запишем формулу как (m×10+1)×10n+j, где j обозначает «хвост» (у нас j=32). Чтобы он поместился в отведенное ему разрядное место, мы должны ввести ограничение j<10n. «Удвоить хвост» можно, еще раз умножив результат на 10n и прибавив j. Таким образом, правило (2) можно сформулировать так:

Если (m×10+1)×10n+j, где j<10n, вычислимое число, то и (m×10+1)×10n+j)×10n+j вычислимое число.

Запись правил (3) и (4) в арифметической форме оставим как упражнение читателю.

Все это выглядит чрезвычайно запутанным и искусственным, но нас сейчас не интересует сложность и «неинтересность» этого вывода. Самое главное здесь, что путем формального, механического преобразования можно перейти от записи правил операций над строками к записи правил в виде операций над их кодами, числами. А как только мы переведем описание ФС на язык арифметики, мы сможем сформулировать и задачи, ставящие вопросы об этой ФС, на том же языке арифметики. Например, задача о выводимости ХА переформулируется в таком виде: входит ли число 13 во множество чисел, вычисляемых данной, описанной в виде арифметических действий, ФС?

X. Теоремы Геделя

Ничто не препятствует нам распространить рассуждения о кодах ФС на самое арифметику, вернее, ее формальную систему — ФСЭА. Переписав ее правила в виде арифметических алгоритмов, мы закодируем каждое утверждение, получаемое ФСЭА, натуральным числом.

Что интересного произойдет, когда мы сделаем это? ФСЭА достаточно мощна, чтобы порождать язык арифметики. В тоже самое время, мы переписали ее правила на тот же самый язык! Иными словами, в таком выражении ФСЭА формулирует утверждения о себе. Например, мы можем спросить, входит ли число X во множество чисел-кодов утверждений ФСЭА? Тем самым, мы задаем вопрос, является ли число Х кодом верного утверждения, то есть теоремы, арифметики. Понятно, что число мы можем теперь рассматривать двояко: как собственно число, и как код утверждения о числах.

Гедель доказывает, что возможно (и показывает, как) сконструировать в ФСЭА утверждение «Число G не входит во множество кодов теорем, выводимых ФСЭА», таким образом, чтобы код этого утверждения в точности совпал с самим числом G14. Каковы последствия существования такого числа?

Попробуем «спросить» арифметику об истинности этого утверждения. Верно ли на самом деле, что число G не входит во множество кодов теорем, выводимых ФСЭА?

Предположим, что ответом арифметики на этот вопрос будет «да». Это означает, что утверждение это выводимо в ФСЭА, а это в свою очередь, означает, что число G, его код, входит во множество кодов выводимых теорем… Но позвольте-ка, ведь если это так, то в арифметике оказывается противоречие: получается, что число G и входит во множество кодов теорем, и не входит в него — результат получается разным в зависимости от пути формального вывода, которым мы идем.

Предположим теперь, что число G, код утверждения о том, что G не является кодом теоремы, и на самом деле не является кодом теоремы. В таком случае, противоречие снимается. Однако, в этом случае арифметика оказывается неполной! У нас есть верное утверждение (о том, что G не является кодом теоремы), которое, хоть и верное, но не входит в число теорем арифметики. Получается тогда, что арифметика «не знает» всех верных утверждений о натуральных числах.

Это рассуждение и является основным в первой теореме Геделя о неполноте. Формулировка этой теоремы была в дальнейшем значительно усилена Россером; когда говорят о теореме Геделя, имеют в виду обычно первую теорему о неполноте арифметики в формулировке Россера.

Обратите внимание, что такое замыкание нашего рассуждения возможно не в любой ФС. Например, утверждения системы ХИХИ не являются таковыми о натуральных числах; строку системы ХИХИ нельзя интерпретировать как «x не входит во множество Z», ведь у нас нет отображения этих строк на утверждения о числах. Кроме того, она не описывает и системы кодирования утверждений на языке, который она производит. Таким образом, ФС, попадающая под обсуждение теоремы Геделя, должна быть достаточно мощна, чтобы выражать, в некоей интерпретации смысла, действия элементарной арифметики. Системы, для которых такая интерпретация в принципе возможна, мы, вслед за Подниексом [2] назовем фундаментальными.

Давайте теперь проговорим суть вывода теоремы Геделя-Россера:

Фундаментальная система теорем, выводимых формальной системой, не может быть одновременно полной и непротиворечивой.

Этот вывод остается верным применительно к любой фундаментальной системе (то есть, с различными наборами аксиом и правил), не только к конкретной ФСЭА. Например, вполне естественно включить G в число аксиом нашей системы. Раз уж мы знаем, что утверждение G истинно, давайте добавим его к списку аксиом нашей ФСЭА. К сожалению, это не снимает противоречия. Сделав это, мы получим другую формальную систему, ФСЭА′, в которой, по теореме Геделя, есть свое геделево число G′. Можно и его добавить к аксиомам ФСЭА′ — мы получим новую систему ФСЭА′′, но и в ней будет свое геделево число G′′ — и так далее до бесконечности.

Разрешения у этой проблемы нет: арифметика не может быть полностью выражена набором аксиом и механических правил вывода, то есть и арифметика, как и теория множеств, не обосновывает сама себя. Открытие Геделя предопределило крах программы Гильберта по поиску самообоснованной, самосовершенной, заключенной самой в себе арифметики — и математики вообще.

Здесь можно увидеть некоторое сходство с геометрией. Изменяя пятый Евклидов постулат о том, что через заданную точку проходит ровно одна прямая, параллельная заданной прямой, мы получим разные непротиворечивые системы геометрии. Существенная разница в том, что геометрия, в отличие от арифметики, не порождает языка, на котором можно выразить аксиомы и правила геометрии. Тем не менее, общая картина арифметического состояния дел нам ясна: имеются некоторые истинные, в смысле более сложных, «внешних» теорий, утверждения, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в арифметике. В то же время, эти внешние теории страдают тем же недостатком: в них имеются свои геделевы утверждения — и так, опять же, до бесконечности. Единой совершенной теории арифметики не существует. Есть более сильные фундаментальные теории и более слабые — например, аксиоматическая теория множеств ZFC сильнее аксиоматической арифметики Пеано в том смысле, что первая доказывает утверждения, недоказуемые в последней, но «абсолютной» фундаментальной теории все-таки существовать не может,

Стоит, для полноты картины, привести здесь, без доказательства или рассуждения, формулировку второй теоремы Геделя о неполноте арифметики:

Если фундаментальная система теорем арифметики, выводимая формальной системой, содержит доказательство собственной непротиворечивости, тогда и только тогда эта система противоречива.

Далее нам следует порассуждать о последствиях результатов, полученных Геделем, для математики, и лишь затем мы рассмотрим различные аргументы о применимости этих результатов к моделям и сущности сознания и мышления.

Продолжение следует.
__________________________________
⇧ 8. Множество аксиом ЭА счетно-бесконечно, они тоже выводятся правилами.

⇧ 9. В ЭА рассматриваются натуральные числа, поэтому переменная может принимать значения 1, 2, 3 и так далее. Если x переменная, то (x+1) будет иметь значения 2, 3, 4 — иными словами, 2 или больше.

⇧ 10. Совсем уж строго говоря, и это сомнительно, потому что аксиомы порождаются схемой, и их бесконечно много, поэтому все их проверить нельзя.

⇧ 11. Парадокс, обнаруженный Бертраном Расселом в теории множеств, популярно сформулирован в википедии (англ.) так. Введем признак «нормальности»: нормальное множество не является своим собственным подмножеством. Например, множество всех квадратов нормально, потому что оно само не есть квадрат. Его дополнительное множество, множество всех неквадратов, не нормально, потому что оно само не квадрат и, следовательно, должно включать и себя. Теперь возьмем множество всех нормальных множеств, и зададимся вопросом, нормально оно или нет? Это парадокс. Если мы предположим, что оно нормально, то оно входит само в себя, и, следовательно, не нормально. Если предположить, что оно не нормально, то его не будет среди всех нормальных множеств, и, значит, оно не подмножество себя — то есть, нормально. Противоречие возникает при любом предположении.

⇧ 12. Конструктивной в математическом смысле: требуется не только доказать существование алгоритма, доказывающего теоремы, но и отыскать сам этот алгоритм.

⇧ 13. Бета-код Геделя основан на взаимно-простых числах и формулируется сложнее, но делает дальнейшие доказательства более эффективными. Для наших качественных рассуждений, однако, конкретный способ кодирования не важен.

⇧ 14. Замечательное неформальное описание этого вывода дается в [1], глл. XIII и XIV, а формальный вывод в [2].


18 comments
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 4:58 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Гедель 4
L. Fregimus Vacerro
2009.12.21 at 12:36 AM
http://fregimus.livejournal.com/82065.html
Цитата:
XI. Математические последствия

Хорошо или плохо для математики открытие Геделя? С одной стороны, надежды математиков на самообоснованность математики, на существование единственной верной математической системы, которую можно «открывать», но не «выдумывать», испарились. Можно подумать, что это плохо. С другой же стороны, оказалось, что математика не сводится к механической процедуре доказательств, что в математике всегда останется место для нового не автоматизированного творчества. Проще говоря — математика не заканчивается, как она бы завершилась с изобретением полностью механизированной математической системы. Математики без работы не останутся, и их, в отличие от рабочих на сборочном конвейере, не заменят роботы. И это как будто бы хорошо.

Диалектическую сущность открытия Геделя хорошо сформулировал К. Подниекс в [2]:

Всякая формальная теория с методологической точки зрения является моделью некоторой застывшей системы мышления. С учетом этого основной вывод из теоремы о неполноте можно переформулировать так: всякая достаточно всеобъемлющая, но застывшая система мышления неизбежно оказывается несовершенной — в ней содержатся либо противоречия, либо проблемы, для решения которых данной (застывшей!) системы недостаточно. Именно в строгом доказательстве принципиального несовершенства всякой застывшей системы мышления состоит подлинный диалектический смысл достижений Геделя.

Итак, с философской точки зрения, теорема Геделя радикально поменяла математические воззрения на основания математики.Математика не может быть одновременно полной и непротиворечивой. Противоречие — много худший дефект теории, чем неполнота: она сводит на нет всю доказательную силу теории. Поэтому математика, какой мы ее разрабатываем, не должна быть противоречивой. Если мы придем к противоречию, нам придется отступить на несколько шагов назад, чтобы изъять из системы те положения, аксиомы, которые к этому противоречию привели. Наша непротиворечивая математика всегда будет неполной. Но каковы же практические — то есть, важные для ежедневной математической работы — последствия этой неполноты?

По всей видимости, они невелики. В некоторых областях математики, наиболее абстрактных, например, теории категорий, они более ощутимы, и на них необходимо оглядываться; в других же геделевы утверждения являются сами по себе предметом математического поиска. Они достаточно редки, и их обнаружение само по себе является достижением. Например, относительно недавно было доказано, что теорема Гудстайна является геделевым утверждением арифметики, и не может быть в ней доказана. Гудстайн описывает особую манипуляцию над числами; утверждение его состоит в том, что, с какого бы числа мы ни начали, повторяя алгоритм конечное число раз, мы в конце концов получим в результате ноль. Хоть эти действия можно проделать в ЭА для наперед взятого числа, доказательство того, что так будет для любого, лежит за пределами ЭА.

Кроме того, в математике имеется определенное число подобных «наблюдательных» предположений. В некотором смысле, это сближает математику с естественными науками: мы делаем наблюдения над поведением математических объектов, затем строим гипотезы, пытаемся построить теории, подвести солидные доказательства под эти гипотезы — и это не всегда получается. С другой стороны, это подкрепляет, в определенном смысле, платонистический-пифагорейский подход к математике. Математика, какой мы ее придумали, существует и ведет себя как объект, поведения которого мы не понимаем до конца, и открываем его свойства — хоть это сложное поведение и задано простыми правилами, которые следуют из еще более простых, установленных произвольно.

Часто бывает, что математика отставляет недоказанность некоторых утверждений в сторону, и развивается, будто они были доказаны. Так же ведут себя и естественные науки. Все, что мы знаем в физике, так же «доказано» наблюдениями и сведением их в теории. В физике нет аксиом, есть только наблюдения. Математика, разумеется, предпочитает аксиомы, но в некоторых случаях и принимает — предварительно, в силу своей строгости — недоказанные утверждения, от которых можно отталкиваться и двигаться вперед.

В число таких недоказанных утверждений входят не только «курьезы» — интересные теоремы, из утверждений которых не делается никаких дальнейших выводов, к каким, например, относится Великая теорема Ферма, доказанная всего несколько лет назад. Существуют гораздо более «серьезные» теоремы, с помощью которых математики доказывают новые теоремы. В их число входит гипотеза Римана.

Гипотеза Римана говорит о значениях нулей комплексной дзета-функции Римана. Разъяснение этой гипотезы лежит далеко за пределами нашего повествования, но нам, безусловно, интересно, что происходит в математике вокруг нее. Доказательства этой гипотезы не найдено уже 150 лет. Говорят, будто, когда у Гильберта спросили, что он сделает, если заснет и проснется через 500 лет, он ответил, что первый вопрос, который он задаст, будет о том, была ли доказана гипотеза Римана. Дело в том, что гипотеза Римана используется во многих доказательствах, как если бы это была доказанная теорема. В этом ее отличие от теоремы Ферма, которая была и остается просто интересным фактом о числах, но не используется в доказательствах так широко. Институт Клэя назначил приз в 1 миллион долларов США за доказательство Римановой гипотезы, потому что ее доказательство чрезвычайно важно для арифметики, в частности, в области факторизации чисел на простые сомножители. Выходит, что и криптостойкость современных шифров зависит от верности предположения Римана, и, таким образом, она оказывает влияние на материальный мир через ежедневные компьютерные операции в нем.

Гипотеза эта доказана для некоторых частных случаев, и, кроме того, разумеется, производились масштабные компьютерные проверки ее истинности. Проверено огромное число (около 10 триллионов!) нулей дзета-функции, и все их значения соответствуют утверждению гипотезы. Общее же число этих нулей бесконечно велико, поэтому полная компьютерная их проверка невозможна. Требуется доказательство, но его нет.

Что будет с математикой, если выяснится, что гипотезу Римана нельзя доказать в существующих даже самых сильнх, самых внешних математических теориях? Конечно, можно сделать ее утверждение аксиомой, просто объявить, что, раз она недоказуема, то мы будем полагать ее истинной по положению. Но, кроме этого, возможен и другой путь. Мы могли бы объявить гипотезу ложной, и считать ее ложность аксиомой15. В принципе, это не вызвало бы в математике противоречий, но, тем не менее, такое положение шло бы вразрез с уже накопленным математическим знанием. Здесь опять проявляется некоторое сходство математики и естественных наук — сходство, возникающее от того, что думают над теориями в этих науках люди, пользуясь родственными мыслительными системами. Мы наблюдаем, что гипотеза Римана верна для огромного количества случаев, и предполагаем — очень уверенно предполагаем! — что она верна всегда в построенной нами системе математики. Поэтому, если нам случится полагать ее аксиомой, расширяющей эту систему, то естественным будет положить аксиомой ее утверждение, а не его отрицание.

Отвлечение наше на гипотезу Римана было не случайным. На этом примере будет интересно рассмотреть положения о том, что сознанию человека будто бы доступна «истина», не достижимая вычислительным алгоритмом.

Продолжение следует.

__________________________________
⇧ 15. Например, так: существует хотя бы один нетривиальный нуль дзета-функции, вещественная часть которого отлична от 1/2.



20 comments
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 5:07 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Гедель 5
L. Fregimus Vacerro
2009.12.24 at 9:01 PM
http://fregimus.livejournal.com/82506.html
Цитата:
XII. O чем не говорят теоремы Геделя

Когда мы имеем дело с математическими объектами и утверждениями о них, важно помнить, что в теоремах математики нет ни одного лишнего слова. Давайте вернемся к формулировке теорем Геделя и рассмотрим их внимательно.

Первая ТГ: Фундаментальная система теорем, выводимых формальной системой, не может быть одновременно полной и непротиворечивой.

Вторая ТГ: Если фундаментальная система теорем, выводимых формальной системой, содержит доказательство собственной непротиворечивости, то она противоречива.

Слово фундаментальная здесь, напомню, говорит о том, что интерпретация, выражает элементарную арифметику: натуральные числа, сложение и обязательно умножение, а также элементы логики, чтобы можно было об этих числах и выражениях что-то утверждать. Итак, обе теоремы Геделя ограничивает полноту и непротиворечивость только ФСС, говорящих об арифметике. Две этих теоремы совокупно называют теоремами о неполноте арифметики (ТГНП) — именно, обратите внимание, арифметики.

Это ограничение чрезвычайно существенно, хотя о нем и забывают те, кто применяет теорему Геделя ко всему подряд.

Хороший пример такого нелепого высказывания есть в [3]: «Поскольку Библия учит всему, она полна. Следовательно, по ТГНП, Библия противоречива». Это рассуждение было бы верным, если бы условие фундаментальности было соблюдено — но Библия не является формальной теорией, утверждающей о сложении и умножении натуральных чисел, и не содержит аксиом или правил вывода теорем! Здесь применено слишком емкое понятие «все».

Математики говорят обо «всем» в некоторой области. Арифметика говорит «все», но только о натуральных числах. То «все», о котором говорит Библия, есть такое же ограниченное «все». Для кого-то она может быть и учебником жизни на каждый день, но ежедневная жизнь все же чрезвычайно удалена от строгих идеальных пространств арифметики.

Интересно, что даже теория действительных чисел не попадает под понятие фундаментальной арифметики, хотя натуральные числа и являются подмножеством действительных. В теории действительных чисел нельзя говорить о натуральных — внутри теории они никак не выделяются, «ничем не отличаются» от других, нецелых чисел. Поэтому даже такой «близкой» теоретической системе, как действительная математика, теорема Геделя не запрещает быть одновременно полной и непротиворечивой. Она и в самом деле одновременно и полна, и непротиворечива.

Геометрия не «подчиняется» ТГНП по той же причине: геометрию можно отобразить на некое подмножество действительной теории, но в геометрии нельзя работать с целыми числами отдельно от прочих. Геометрия тоже может быть и полной, и непротиворечивой.

Арифметика Пресбургера — самая обычная арифметика, только лишенная понятия об умножении — тоже недостаточно сильна, чтобы удовлетворять требованиям ТГНП. Она в точности совпадает с обычной арифметикой, но только не делает ни понятия умножения, ни одного утверждения о нем. Доказано, что она полна и непротиворечива — но это не противоречит выводам Геделя, потому что и эта система не является фундаментальной арифметикой.

Большинство общефилософских утверждений, привлекающих ТГНП, таким образом, ошибочны именно из-за неприменимости последних к той области, к которой их пытаются применить.

Рассмотрим такой пример (Кирьянов Д. Исповедание великого логика. Интервью журналу Нескучный сад, сентябрь 2009):
Цитата:
Гедель исследовал арифметику и показал в своих теоремах, что ее непротиворечивость не может быть доказана, исходя из ее самоочевидных принципов: аксиом сложения, вычитания, деления, умножения и проч. Нам требуются для ее обоснования некоторые дополнительные допущения. Это на самой простейшей теории, а что говорить о более сложных (уравнениях физики и т. п.)!


Первое утверждение следует понимать как верное, хотя и построено оно, скажем, чрезмерно популярно; никаких аксиом вычитания или деления в арифметике нет. А вот о более «сложных» теориях ТГНП как раз не утверждают ничего! Уравнения физики, в частности, опираются не на арифметику, а на вещественные и комплексные числа, к основополагающим теориям которых ТГНП неприменимы в принципе. Более того, еще важнее осознавать здесь, что физика отнюдь не выводится из аксиом — физические формулы появляются из математического аппарата теорий, описывающих наблюдаемую реальность.

Бывает, что ТГНП приписываются утверждения, и вовсе ей противоречащие. Рассмотрим теперь такое утверждение:
Цитата:
теорема Гёделя… показыва[ет], что негуманитарий… не способен осознать всех аксиом своего мышления.

Если понимать здесь «негуманитария» как некую вычислительную систему, то утверждение это будет о том, что формально-теоретическая система будто бы не может сформулировать своих собственных аксиом. Это неверно не только для арифметически фундаментальной системы — это неверно для любой ФС! Например, в интерпретации системы ХИХИ, строка ХИ, верная по положению, является аксиомой. Система ХИХИ «произносит», или, в терминах этого утверждения «осознает» строку ХИ. Впрочем, об «осознании» системой себя, точнее, о выводе ею утверждений о себе самой, мы еще поговорим.

Эту же ошибку мы видим и в следующей цитате (Бойко В. С. Йога. Искусство коммуникации, 2-е испр.):
Цитата:
В контексте данной работы теоремы Гёделя показыва[ю]т, что любую жизненную ситуацию человек принципиально не способен понять, находясь в ней.

Ни о каких «человеках» ТГНП не говорят, речь идет только лишь о формально-теоретических построениях. В отличие от человека, формальные системы в принципе не способны попадать в ситуации: все, что происходит в ФС, происходит внутри нее. Это верно в контексте любой работы, а не только цитируемой.

Тут можно было бы остановиться, ибо ничего более о применимости ТГНП мы здесь добавить не сможем, но позволю себе проговорить небольшое отвлечение, которое нам важно будет в дальнейшем. Математика, будучи дисциплиной глубоко формальной, позволяет нам отринуть любые понятия о затратах времени, энергии, денег и прочих ограниченных ресурсов на вычисления. Мы формулируем правила вывода таким образом: если мы вывели строку X, то мы выведем из нее и строку Y, и все это мы производим вневременным образом, ни мало не считаясь с тем, что рост числа выведенных строк будет экспоненциальным, что их число превысит возможности любого компьютера, попытайся мы проделать этот сугубо мысленный процесс на реальной вычислительной машине. Условие, которое мы ставим, мысленно направляя процесс порождения теорем в теории, касается только бесконечности: мы не можем дать нашему воображаемому вычислителю задание «перенумеровать все числа, а затем…» — по правилам игры, мы можем запустить его в такое бесконечное путешествие лишь однажды, — но и это ограничение лишь правило математической игры, а вовсе не исходит из трудностей реального мира.

Человек поставлен в ситуацию непрерывного взаимодействия со средой, поэтому никакая «внутренняя» формальная система не опишет поведения человека полностью. Здесь мы возвращаемся к тысячу раз прожеванному, но так многими и не впитанному вопросу о проведении границ. В любой человеческой ситуации всегда оказывается задействована вся вселенная; что нам отсечь, назвать неважным, а что оставить внутри — всегда вопрос произвола исследователя, его опыта, интуиции; если сделать это сразу неверно, то все теоретизирование, скорее всего, пойдет насмарку. Но, в любом случае, граница, по которой мы отсекаем «жизненную ситуацию человека», должна проходить намного дальше его мозговых оболочек.

Букалов А.В. Мышление и квантовая физика: теоремы Геделя, Тарского и принцип неопределенности. Физика сознания и жизни, космология и астрофизика, 2, 2001:
Цитата:
[1-я ТГ] утверждает принципиальную невыразимость или невозможность вербализации (т.е. ненаблюдаемость) математических объектов (или объектов математического, да и любого другого, мышления). Любопытно отметить, что Гедель при доказательстве своей теоремы исходил из парадокса лжеца (некто говорит: «Я лгу»...).

Первое утверждение говорит о том, будто бы арифметика вообще не содержит ни одного утверждения о числах. Это, конечно же, нелепость — каждый, изучавший в школе арифметику, думаю, приведет одно-другое арифметическое утверждение, чем и опровергнет смелый софизм д-ра Букалова. Спорить с эквивалентностью вербализации и наблюдаемости, пожалуй, выходит за рамки нашего разговора. Любопытно, однако, отметить, что Гедель при доказательстве своих теорем из «парадокса лжеца», как мы уже видели, не исходил. Более того, то, что Геделево утверждение G: G недоказуемо в теории T не может быть переформулировано как G': G' ложно, то есть что оно не эквивалентно парадоксу лжеца, как раз и говорит теорема Тарского, тоже склоняемая д-ром Букаловым на все лады.

Сокал, Брикмон (А. Сокал, Ж. Брикмон. Интелектуальные уловки. М. : Дом интеллектуальной книги, 2002) приводят такой невероятный пример постмодернистски-фривольного обращения с теоремами Геделя и с логикой вообще, цитируя дискурс социального философа Р. Дебрэ из его «Критики политического разума» (1981):
Цитата:
Открытие «секрета» коллективных бедствий, то есть условия a priori всякой прошедшей, настоящей и будущей политической истории, содержится в нескольких простых детских словах. Но если мы заметим, что определения прибавочного труда и бессознательного состоят из одной фразы (а в физических науках уравнение общей теории относительности состоит из трех букв), то мы остережемся смешивать простоту с упрощенчеством. Этот секрет имеет форму логического закона, обобщения теоремы Геделя: нет организованной системы без закрытия и никакая система не может быть закрытой при помощи только лишь её внутренних элементов.

Ну что ж, ежели такой закон является неким обобщением теоремы Геделя (речь идет о 2-й теореме, как я понимаю) — доказательство обобщения в студию, гг. философы! Ни о чем таком в ТГНП и близко речи не идет.

Как видно из этой небольшой подборки примеров, любое применение ТГНП в гуманитарных выкладках — почти наверняка ошибка. Нам, однако, следует рассмотреть два более глубоких случая применения арифметической полноты к сознанию. Логические ошибки в этих случаях далеко не так очевидны, как в приведенных выше.

Продолжение следует.



61 comments
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 5:21 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Пишет Falcão (falcao)
@ 2009-12-25 19:33:00
http://falcao.livejournal.com/189737.html
Теорема Гёделя о полноте -- 1

Цитата:
Этот пост я планировал написать чуть ли не с лета, но всё как-то откладывал и откладывал. Но вот в недавней френд-ленте мне встретилось упоминание о том же самом, и я в комментах пообещал, что напишу планируемый пост в самое ближайшее время. Как и предыдущие мои посты, затрагивающие логическую тематику (некоторые из записей перечислены здесь), он идёт как открытый. Комментарии отменены, а для обсуждения я завожу, как обычно, отдельный пост (тоже открытый).

Как обычно, мой текст адресован всем, кто сколько-нибудь интересуется логической проблематикой. Писать я стараюсь всегда в "популярном" стиле, то есть стремлюсь к тому, чтобы не требовалось специальных знаний, и текст мог быть понят, например, теми, кого называют "гуманитариями". Кроме того, я даже в постах на тему математической логики, стремлюсь не перегружать читателя обилием формул, в которые надо вникать. В идеале, такого рода текст должен читаться примерно как художественная литература, то есть всё должно усваиваться "в первом чтении". (Правда, скорость восприятия должна быть замедленной по сравнению с обычной.) В то же время, я стараюсь излагать всё без смысловых искажений и упрощений, которыми нередко "грешат" авторы популярных текстов. Но я стараюсь передавать смысл, что называется, "без потерь".

Текст я разделяю на две части, а изложение разбито на отдельные пункты. В первой части, то есть в данном посте, информация даётся в основном "вводная", а собственно доказательство теоремы я изложу в одном из следующих постов. При "сокращённом" варианте чтения, можно пункты 2 и 4 лишь "пробежать глазами", так как они в большей степени посвящены обоснованию значимости обсуждаемого результата. А вот на пункты 1, 3 и особенно 5 следует обратить особое внимание, так как это важно для понимания доказательства.

1. Начать я хочу с того, что не следует путать

теорему Гёделя о полноте,

которой посвящён этот пост,

со знаменитыми теоремами Гёделя о неполноте (о которых я когда-то уже писал, и которым не так давно посвятил серию постов fregimus).

Тут речь идёт о "полноте" и "неполноте" совершенно разных вещей. "Неполнота" относится к свойствам формальных теорий, в которых оказывается принципиально невозможно доказать всё, что нам бы хотелось; в таком смысле этот результат можно назвать "пессимистическим". То же, о чём я хочу написать здесь, есть результат в каком-то смысле противоположного характера, и его можно причислить к "оптимистическим". Здесь слово "полнота" относится к системе правил логических рассуждений. Оказывается, что эти правила (которые я описывал в своих старых постах и которые ниже коротко напомню), оказываются достаточно "полными" для того, чтобы с их помощью можно было провести любое математическое рассуждение.

Сейчас я прежде всего сформулирую теорему о полноте в "сжатой" форме, чтобы было понятно, о чём будет идти речь. Кратко это будет звучать так:

всякая непротиворечивая формальная теория имеет модель.

Смысл этого утверждения вот какой. Допустим, у нас имеется некоторый набор формальных положений, записанных на логическом языке. Такой набор положений мы будем называть "формальной теорией". Предположим, что из этих положений невозможно вывести логическое противоречие (то есть наша теория "непротиворечива"). Теорема утверждает, что все наши формальные положения можно так проинтерпретировать в содержательном виде, что они станут в этой интерпретации истинными. Это и подразумевается под построением "модели" данной теории.

То есть, если совсем коротко:

всякий непротиворечивый набор формальных положений что-нибудь да описывает.


2. Есть довольно много примеров из истории науки, когда оказывалось, что придуманные математиками чисто "умственные" конструкции вдруг находили применение, которого изначально никто не ожидал. Я вообще-то не люблю приводить исторические примеры, но бегло всё-таки упомяну хотя бы часть таких конструкций. Например, всем известен пример неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского). Поначалу многие думали, что это есть чистая "игра ума", но в итоге оказалось, что она прекрасно описывает "искривлённые" пространства, и в физических теориях она заняла своё достойное место. Часто вспоминают также о "некоммутативном умножении", то есть такой конструкции, где возможно, что произведение AB не равно произведению BA. Здесь, конечно, речь идёт не об обычных числах, для которых переместительный закон умножения, известный всем из школьной программы, выполнен всегда. Но какие-то другие объекты (например, матрицы, или преобразования, или даже что-то ещё более близкое к числам) могут уже обладать свойством некоммутативности умножения. И такого рода вещи широко используются в моделях квантовой физики.

Можно привести ещё такой пример, который относится к уже более новому времени. Когда я учился в школе, то я хорошо помню, что деятельность по нахождению "очень больших" простых чисел считалась чисто "спортивной", и общепринятым было мнение, что это не может иметь никакого применения на практике. Прошло совсем немного лет, и выяснилось, что для нужд криптографии такие числа оказываются совершенно необходимыми для создания "секретных" способов передачи данных. Всё это давно реализовано в программах, которые мы используем, совершая электронные платежи и прочее.

Последний пример вообще-то немного выходит за рамки разговора, потому что упомянутые числа вряд ли можно считать примером некой "теории". Однако я счёл нужным вспомнить и об этом для иллюстрации такой довольно привычной для меня мысли: какие бы "странные" и на первый взгляд "ненужные" объекты ни изучали математики, рано или поздно всё это оказывается "востребованным" практикой. Изучается обычно что-то, имеющее внутреннюю ценность, обладающее богатым внутренним содержанием. Причём, как правило, без "нацеленности" на какие-то практические нужды. И теорема Гёделя о полноте, как мне кажется, помогает осознать, почему так происходит. Конечно, её значение этим далеко не исчерпывается, но сам тот факт, что любая логически состятельная система положений описывает что-то вполне осмысленное (и часто имеющее в реальности даже не одну, а очень много разных интерпретаций), имеет немалое значение для осмысления причин "непостижимой эффективности" математических теорий и конструкций.

Кстати сказать, даже компьютер можно считать в каком-то смысле "внебрачным потомком" математической логики: ведь поначалу математики просто изучали то, как устроены логические рассуждения, доказательства. А также разного рода "детерминированные" процессы. Эта деятельность привела к осознанию того, как устроены алгоритмы, и как можно создать "универсальное" устройство по "проигрыванию" каких угодно алгоритмов по заранее составленной программе. А это как раз в точности компьютер и есть -- как минимум, на уровне теории.

3. Хотелось бы ещё сказать пару слов о "теориях" как таковых, то есть о том, как они возникают. Прежде всего, теория может изучать что-то вполне конкретное -- например, систему натуральных чисел, или какую-то механическую систему, или какой-то вид животных. Короче говоря, что угодно. Это наиболее распространённый случай возникновения теорий, и обычно наука такого типа как-то накапливает знания об интересующем нас "объекте" или "системе", то есть об изучаемом предмете. В этом случае, если мы рассмотрим все имеющиеся в наличии теоретические положения, то при условии, что мы нигде не ошиблись, у нас получится набор теоретических положений, который уже имеет модель. Он же, конечно, будет внутренне непротиворечив, так как описывает нечто вполне "реальное". Этот пример говорит о том, что теории такого типа не имеет смысла рассматривать в том контексте, который здесь имеется в виду. Правда, проблема может возникнуть, если изучается мир каких-то "воображаемых" объектов типа "множеств" в математике, но мы сейчас об этом говорить не будем, а сосредоточимся на "теориях" совершенно другого типа.

Бывает так, что мы не изучаем что-то, а пытаемся создать или построить. В таких случаях мы часто перечисляем некий набор требований, которые нам хотелось бы иметь выполненными. Деятельность этого рода также достаточно широко распространена, но надо об этом сказать явно, чтобы сосредоточить внимание именно на этом. Например, мы могли бы выписать некие условия, которым подчинялась бы та или иная "система", и главный вопрос, который при этом возник -- это вопрос о том, а осуществимы ли эти требования, взятые вместе? А вдруг мы немного "переборщили", и пожелали создать что-то такое, что в принципе осуществлено быть не может, так как ведёт к логическому противоречию?

Я не буду здесь в качестве примера приводить что-то вроде "вечного двигателя", так как тут возникает противоречие с физическими законами, открытыми на опыте, то есть имеющими "эмпирический" характер. Понятно, что в той мере, в какой мы верим в "надёжность" этих законов, мы должны верить и в невозможность создания "перпетуум мобиле". Но это противоречие всё-таки имеет природу, отличную от логической. Мы хотя бы в "сказочном" варианте в состоянии представить себе некое вечно вращающееся колесо -- независимо от возможности его создать. А я сейчас приведу довольно смешной пример, когда ситуацию, в которой выполнены наложенные требования, невозможно представить себе в принципе.

Это, по сути дела, сюжет из анекдота. В школьном классе появился "активист", который пожелал, чтобы успеваемость каждого ученика была выше средней по классу Smile

Я не раз сталкивался с ситуацией, когда после произнесения этой фразы кто-то ожидал продолжения типа "а что дальше?" Но на самом деле сказанного вполне достаточно, чтобы любой человек смог понять, что такое требование противоречиво, и потому не может быть осуществлено. На всякий случай поясню: если представить себе, что такая ситуация возможна, и сложить все показатели успеваемости, то получится число, которое больше (строго больше!) чем средний показатель, умноженный на число учеников. И если теперь вспомнить, как вычисляется само "среднее" -- сумма "баллов" делится на число участников, и разделить обе величины на это количество, то окажется, что средний балл оказался больше ... самого себя! Smile То есть это, по сути, призыв "прыгнуть выше головы".

Чуть позже я приведу ещё кое-какие примеры противоречивых требований, про которые сразу не ясно, что они в принципе не осуществимы. А сейчас я хотел бы ещё раз остановиться на нашей ситуации, когда мы пытаемся создать нечто, удовлетворяющее заранее наложенным требованиям. Понятно, что логической противоречивости мы должны в любом случае избегать, но достаточно ли этого? Может, есть ещё какие-то препятствия к осуществимости замысла? Теорема Гёделя о полноте (если, конечно, её применение в таком контексте корректно) говорит нам, что по сути дела это единственное препятствие. Если логического противоречия нет, значит, какой-то "мир", описываемый сочинёнными нами положениями, возможен. То есть он в принципе бывает -- хотя бы на уровне теоретической конструкции.

Конечно, все прекрасно понимают, что практических препятствий к осуществлению чего бы то ни было может быть сколько угодно. Типа недостатка "ресурсов" или чего-то ещё. Но и здесь мы вообще-то можем ограничения включить в число накладываемых требований. Так или иначе, сам факт о существовании модели нашей теории позволяет как минимум изучать такой "объект", даже если он ещё не построен! Этот приём, кстати, часто применяется при осуществлении школьных геометрических построений. Мы представляем себе ситуацию, когда построение "якобы" уже осуществлено, и начинаем анализировать, какими свойствами оно обладает. Этот анализ особенностей будущего построения (или "модели") помогает в будущем и осуществить сам "проект"! То есть такая работа совершенно не бесполезна, и чисто "теоретическое" или "умозрительное" существование некого объекта, гарантируемое теоремой Гёделя, на самом деле способно сильно помочь в его построении.

Здесь нельзя не затронуть ещё вот какой момент. Пусть у нас есть система каких-то положений, которые мы сами придумали, или нам их кто-то выписал (скажем, наш "заказчик"). Как мы можем определить, противоречива ли эта система требований? Первое, что приходит в голову -- это как-то начать извлекать логические следствия из этих положений. И, если мы не придём к противоречию, то появится надежда, что такового просто и нет. Но это всего лишь надежда, а возможна ли какая-то "гарантия"?

4. Прежде всего, здесь я сформулирую один тезис "пессимистического характера", который на самом деле по своей природе близок к тому, о чём говорится в теоремах Гёделя о неполноте. А именно, никакого общего способа проверки системы утверждений на внутреннюю логическую противоречивость (который бы гарантированно давал нам ответ в форме "да" или "нет"), не существует. Математики в таких случаях говорят, что соответствующая проблема алгоритмически неразрешима. Об алгоритмических проблемах как таковых, я писал в серии своих предыдущих постов. Отсутствие общего способа, конечно, не означает, что при анализе вполне конкретной системы нас обязательно ждёт "неуспех". Но тогда встаёт вот какой вопрос: а если "успех" нас на этом пути всё-таки ожидает, то каким способом мы можем убедиться в непротиворечивости некоторой отдельно взятой теории?

Вообще-то наиболее распространённым способом установления непротиворечивости теории является как раз построение какой-то её модели. Но тогда может возникнуть вопрос, а какую же роль играет обсуждаемая теорема? Ведь применить её мы можем только к тем теориям, непротиворечивость которых уже установлена!

По этому поводу я считаю нужным сказать две вещи. Первое -- это то, что не будь этой теоремы Гёделя, мы бы не могли быть уверены, что выбранный нами способ установления непротиворечивости теории (при помощи построения модели), является состоятельным. А вдруг теория непротиворечива, но модели, тем не менее, она по каким-то причинам не имеет? И строить модель бессмысленно, а в непротиворечивости следует убеждаться каким-то другим путём. Если бы не теорема Гёделя о полноте, такая ситуация могла быть вполне возможной. А когда мы знаем, что эта теорема справедлива, то это может придать нам уверенности в поиске требуемой модели.

Но это ещё не всё; имеется вторая важная вещь. Очень часто рассматриваемые нами теории состоят из бесконечного числа положений. Чтобы представить себе, как такое вообще может быть, достаточно вообразить некий "шаблон", в соответствии с которым могут получаться те или иные положения теории. Например, обычный переместительный закон сложения имеет бесконечное число следствий, применительно к конкретным парам чисел. Скажем, каждое из равенств наподобие 3+4=4+3, 6+1=1+6, 11+111=111+11 есть следствие нашего общего закона, и таковых можно выписать бесконечно много. Конечно, все они могут быть "упакованы" в одну "буквенную" формулу типа x+y=y+x, как обычно и делается. Но даже в формальной арифметике (о ней у меня тоже имеется один из постов в списке) мы имеем дело с некоторой схемой "однотипных" аксиом, которых имеется бесконечное количество. И во многих других формальных теориях дело обстоит похожим образом. Поэтому такой случай, когда число основных положений теории бесконечно, является не каким-то "экзотическим", а вполне "ходовым".

И вот теперь представим себе, что мы хотим убедиться в непротиворечивости теории, состоящей из бесконечного числа занумерованных положений Y_1, Y_2, ..., Y_n, ... . Из общего устройства логических доказательств, легко осознать такую совсем простую вещь: если противоречие выводится из бесконечного числа положений, то оно обязательно выводится и из некоторого конечного числа этих положений. Просто по той причине, что доказательство представляет собой текст конечной длины, и оно опирается по этой причине лишь на конечное число положений "теории".

Отсюда ясно, что установление непротиворечивости нашей теории сводится к установлению непротиворечивости теорий, у которых число положений конечно. А эта задача зачастую оказывается намного проще. Делается это при помощи нахождения такой модели, на которой истинными оказываются утверждения из некоторого начального отрезка нашего списка. Мы фактически строим бесконечное число моделей, а именно M_1, M_2, M_3, ... таким образом, что на модели, скажем, M_7 выполнены утверждения Y_1, Y_2, ..., Y_7, а про всё остальное мы ничего не знаем. Соответственно, в общем случае на модели M_n у нас выполнены условия Y_1, Y_2, ..., Y_n -- всего n начальных условий списка. И так для каждого n. Но условие Y_{n+1} на модели M_n выполняться при этом уже не обязано.

Так вот, если мы посмотрим теперь на все построенные модели "сверху", то мы поймём, что непротиворечивость нашей теории в итоге нами установлена, но вот общей модели M -- для всего бесконечного множества условий -- у нас при этом пока нет. То есть из "обрезков" моделей M_1, M_2, ..., M_n, ... мы не имеем возможности как-то просто, путём "слияния" или чего-то ещё, соорудить одну "большую" модель.

Можно представить себе, что каждое из условий Y_1, Y_2, .... Y_n, ... есть некое уравнение; тогда, зная для каждого отдельного n некое решение системы, состоящей из первых n уравнений, мы не имеем ни одного примера решения всей нашей системы целиком. Но если воспользоваться теоремой Гёделя о полноте, то мы можем заключить, что такое общее для всех условий решение всё-таки существует -- конечно, при условии корректного применения самого результата.

5. Сейчас я хочу кое-что сказать о том, в какой форме будут представляться положения теории. Их принято записывать на языке логики предикатов, который является в известной мере "универсальным", то есть описывать в этих терминах можно практически какие угодно явления, если иметь в виду описания на чисто формальном уровне. Использовать разрешается, во-первых, логические связки, то есть слова "и", "или", "не", записанные при помощи логических символов (у меня здесь это будут "and", "or" и "not"). Во-вторых, особенностью логики предикатов является использование логических кванторов, которых имеется всего два. Это квантор всеобщности, который я здесь буду обозначать через A (от слова "All", и со значением "для всех"), а также квантор существования, который я буду обозначать через E (от слова "Exist", со значением "существует"). Чаще всего в литературе в качестве обозначений используются "перевёрнутые" буквы, но я для удобства буду просто использовать жирный шрифт. Так тоже нередко поступают.

Но самую главную роль в формулах играют, конечно же, предикаты, то есть свойства. Точнее было бы здесь говорить о предикатных символах, которые вводятся для обозначения тех или иных свойств. Если брать самый простой случай, то в нём рассматриваются свойства, которым может обладать или не обладать тот или иной "объект". Если мы хотим ввести символ, например, для обозначения свойства объекта "быть красным", то можно выбрать какую-то букву -- скажем, R, и писать R(x), имея в виду, что объект x обладает свойством R, то есть он является красным. Таких свойств, самых разнообразных, можно ввести в рассмотрение сколько угодно. Эти свойства могут быть взаимосвязаны; например, может так оказаться, что "все P суть Q", то есть все объекты, обладающие свойством P, также обладают и свойством Q. Этот факт может быть записан при помощи логической символики в виде формулы (Ax)(P(x) -> Q(x)).

Те символы, которые используются для выделения определённых свойств объектов, называются одноместными предикатными символами. Если использовать только их, то на таком языке можно выражать так называемые "силлогизмы". Им у меня был посвящён отдельный пост, где я проводил ту мысль, что теория силлогизмов представлет собой не какое-то "вершинное" достижение логики, а всего лишь попытку проанализировать самые простые логические законы на "символьном" языке. По-настоящему серьёзные вопросы для своего освещения требуют многоместных предикатных символов, которые указывают на наличие каких-то связей между двумя и более объектами.

Например, пусть мы хотим отразить отношение знакомства. С этой целью мы вводим какой-то двуместный предикатный символ (скажем, K) и пишем K(x,y) в случае, если "объект" x знаком с "объектом" y. В данном случае мы не имеем в виду симметричное отношение, то есть здесь подразумевается, что x знает y -- примерно в том смысле, что я "знаю" Аллу Пугачёву (хотя она меня -- навряд ли Smile) Для отношения взаимного знакомства можно ввести другой символ -- например, M, и писать M(x,y) в случае, если мы хотим выразить мысль, что x и y знакомы между собой (каждый из них знает каждого). Соответственно, можно ввести символ F для обозначения "френдования" в ЖЖ, и так далее. То есть допустимо рассматривать какое угодно число двуместных предикатных символов, примерами которых у нас служат рассмотренные выше K, M, F и так далее. Особо мы отметим такое отношение как "отношение равенства", для которого обычно используется символ "=", но он вообще-то является "внелогическим", и если его не разрешается использовать "по умолчанию", то мысль о том, что x и y равны (то есть x=y) можно записывать в виде E(x,y), где E -- ещё один пример двуместного предикатного символа.

Во многих случаях полезнобывает рассматривать трёхместные предикатные символы. Скажем, говоря об арифметике, мы можем писать S(x,y,z), имея в виду, что x+y=z, или П(x,y,z) для обозначения того факта, что x*y=z. Здесь S и П суть трёхместные предикатные символы. Привлекая их, можно избежать использования отдельных знаков для тех или иных операций -- например, для сложения или умножения.

Полезно осмыслить тот факт, что кратко описанный здесь "язык" является в значительной степени "универсальным", то есть на нём можно выражать сколь угодно сложные "мысли". Я проиллюстрирую это на нескольких примерах. Допустим, я хочу на языке логики предикатов записать фразу о том, что "всякий кулик своё болото хвалит". Смысл здесь понимается несколько упрощённо, а именно: про всякого кулика известно, что он хвалит какое-нибудь болото -- без дополнительных уточнений. Которые при желании также можно было бы ввести.

Итак, мы помним, что у нас имеются в рассмотрении просто "объекты", среди которых встречается всё: и кулики, и болота, и точки, и прямые, и числа -- абсолютно всё на свете. Поскольку здесь мы говорим о куликах и болотах, то можно ввести два предикатных символа К и Б. Оба они будут одноместными, и запись К(x) будет означать, что x есть кулик, а запись Б(y) -- что y есть болото. (Та идея, что всё можно рассматривать "скопом", просто выделяя при помощи выбранных обозначений объекты совершенно разной природы, кому-то может показаться неожиданной, но для математической логики это как бы "норма".) У нас здесь в примере ещё имеется глагол "хвалить", и для его выражения мы должны ввести двуместный предикатный символ Х, и если мы пишем X(a,b), то это означает, что a хвалит b. Заметим, что буквы a, b здесь могут быть заменены на любые другие, и даже на одинаковые; запись Х(s,s) будет при этом означать, что s хвалит сам себя Smile

Итак, вот как строится теперь нужная нам фраза:

для всякого "объекта" x, если x является куликом, то существует "объект" y, являющийся болотом, и обладающий тем свойством, что x хвалит y.

В символьной форме имеем вот что: (Ax)(К(x) -> (Ey)(Б(y) and Х(x,y))).

Аналогичным способом можно описывать любые другие ситуации, привлекая при этом нужные для рассмотрения символы, призванные обозначать свойства, отношения и прочее. При этом следует отдавать себе отчёт в том, что формулы, которые мы получаем -- это не более чем последовательности символов, и никакого "смысла" они сами по себе не имеют. Например, если кто-то посмотрит на формулу, написанную нами выше, то он не будет знать, что мы сказали, не зная, что именно означают наши буквы К, Б и Х. Более того, если им придать другой смысл -- не тот, который имели в виду мы, то вместо какого-то верного высказывания запросто может получиться неверное.

6. Теперь хотелось бы привести ещё пример "теории", которая оказывается противоречивой, хотя логический вывод противоречия из самих формул тут довольно сложен. Представим себе, что мы задались целью найти такую компанию из девяти пользователей Живого Журнала, чтобы у каждого члена этой компании в ней имелись в точности три взаимных френда. (При этом мы не учитываем того, что кто-то может иметь во френдах самого себя.)

Прежде всего, предлагается понять, почему компании с такими свойствами существовать не может. Представим себе, что каждый их девяти человек представил список всех своих взаимных френдов, назвав при этом три имени. Если мы соединим все эти списки, то получим 27 имён, которые при этом могут упоминаться несколько раз. Но такого не может быть, потому что общее число записей должно оказаться чётным: ввиду того, что "френдование" нами рассматривается взаимное, все записи можно разбить на пары. В одну пару войдут два упоминания: A упомянул B, и при этом B упомянул A. То есть мы пришли к логическому противоречию.

Если мы теперь попытаемся описать "теорию" (на языке логики предикатов), то она в силу сказанного выше окажется противоречивой, однако этого нам не будет явно видно из самих формул. Выписывать все требования мы не будем, а всего лишь укажем, как можно это сделать. Это полезно осознать хотя бы в общих чертах, чтобы знать, с какого рода системами утверждений мы хотим далее иметь дело.

Итак, нам тут нужно 2 двуместных предикатных символа: символ E для равенства, и символ F для обозначения "френдования" (взаимного). Мы накладываем требование симметричности (взаимности), которое у нас будет иметь такой вид:

(Ax)(Ay)(F(x,y) -> F(y,x))

Далее, мы требуем, чтобы в число френдов никто не включал сам себя, то есть (Ax)(not(F(x,x)).

Как выразить то, что в компании имеется ровно 9 участников? Это делается при помощи довольно длинной формулы, которые желающие могут выписать явно. Мы утверждаем существование таких x1, ..., x9, которые попарно не равны друг другу, и таких, которыми всё исчерпывается, то есть для любого x оказывается, что он совпадает с одним из девяти рассмотренных участников. Всё полностью я выписывать не буду, а дам лишь фрагмент, отмечая пропуски многоточиями, а также опуская излишние скобки:

(Ex1)(Ex2)...(Ex9)(not E(x1,x2) and not E(x1,x3) and ... and not E(x8,x9) and (Ax)(E(x,x1) or E(x,x2) or ... or E(x,x9) ))

Примерно таким же путём можно написать предложение, утверждающее, что каждый участник нашей компании имеет в точности трёх френдов.

Поскольку предикатный символ E означает у нас не что иное как равенство, то нужно добавить к списку требований основные свойства, которыми обладает отношение равенства. Прежде всего, этот три свойства, показывающие, что равенство есть "отношение эквивалентности". Это рефлексивность (всякий объект равен сам себе), симметричность (если x равен y, то y равен x) и транзитивность (если x равен y, и y равен z, то x равен z). В виде формул это выглядит так:

(Ax)E(x,x)
(Ax)(Ay)(E(x,y) -> E(y,x))
(Ax)(Ay)(Az)(E(x,y) and E(y,z) -> E(x,z))

Кроме этих свойств, есть ещё свойство "подстановочности" равенства. Оно означает, что если в условии F(x,y) мы заменим x или y на равный ему элемент, то после замены получится условие, которое окажется выполненным. Такую замену можно осуществить для x и y сразу, и тогда получится вот что:

(Ax)(Ay)(Ax')(Ay')(F(x,y) and E(x,x') and E(y,y') -> F(x',y'))

Соединяя все требования вместе, мы получим пример противоречивой теории, которая моделью обладать не может. Нашей целью теперь является доказательство того факта, что если из каких-то выписанных нами положений логическое противоречие никаким способом вывести нельзя, то эти положения могут быть проинтерпретированы хотя бы одним способом так, что все они окажутся истинными. То есть "теория" будет иметь модель.

ПРОДОЛЖЕНИЕ (часть 2)
http://falcao.livejournal.com/190224.html

К ОБСУЖДЕНИЮ
http://falcao.livejournal.com/190186.html
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Красный



Зарегистрирован: 26.10.2009
Сообщения: 1574
Откуда: Питер

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 5:23 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Камрад, ты что, математик?
У меня достаточно знакомых физиков, они совсем странные люди. Так вот даже они математиков ебнутыми считают. А ты тут понаписал. А вдруг оно заразно? Через буквы и прямо в мосх?
_________________
Скайп: kr00003
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение Посетить сайт автора
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 6:07 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Красный писал(а):
Камрад, ты что, математик?
У меня достаточно знакомых физиков, они совсем странные люди. Так вот даже они математиков ебнутыми считают. А ты тут понаписал. А вдруг оно заразно? Через буквы и прямо в мосх?


Неплохо было бы Very Happy прямо в мозг.Very Happy

Здесь будут выложены некоторые статьи(общедоступные для понимания), в которых рассмотрены формальные проблемы создания "учений". Very Happy

Например для анализа тождества понятий Шариат<=>Домострой Shocked Very Happy
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 6:13 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Пишет Falcão (falcao)
@ 2009-12-29 02:35:00
http://falcao.livejournal.com/190224.html
теорема Гёделя о полноте -- 2
Цитата:
ПРОДОЛЖЕНИЕ поста, начатого здесь. Обсуждение проводится по прежнему "адресу".

В данной части поста, я считаю наиболее важными и принципиальными пункты 10 -- 11, где описывается процесс построения модели. Полезно также перечитать пункт 7 -- для тех, кто не знаком с правилами логического рассуждения, которые мы здесь выделяем в качестве основных. В пунктах 8 -- 9 у меня собраны в основном иллюстративные примеры, а в заключительном пункте 12, который мне пришлось разместить в третьей части, идёт серия формальных проверок того, что перед этим было построено. Я вообще-то планировал уложиться в две части, но пришлось сделать три из-за ограничений на длину записей, которая существует в ЖЖ. Так или иначе, я считаю, что на пункт 10 следует обратить особое внимание всем тем, кто в первую очередь интересуется вопросом "из чего же, из чего же, из чего же сделаны наши модели?" Smile

7. Прежде всего, я хочу напомнить те основные правила логического рассуждения, которые я выделял в качестве "базовых" в серии предыдущих постов на эту тему. Для того, чтобы сократить число этих правил, мы прежде всего хотим сократить число используемых нами логических связок до отрицания и импликации. Этим мы ничего не теряем, так как все остальные связки через них выражаются. Так, (p or q) есть не что иное как (not(p) -> q), а под (p and q) теперь можно понимать not(not(p) or not(q)). Конечно, сами формулы становятся более громоздкими, если отказаться от связок "или", "и", но нам никто не запрещает их использовать в качестве сокращённых обозначений, что мы далее и будем делать. Но при этом получается, что для исчисления высказываний нам достаточно всего трёх правил логического рассуждения. Напомним их здесь.

(1) Правило Отсечения, или "модус поненс": если доказано A, а также доказано A->B, то разрешается считать доказанным B.

(2) Правило Условного Рассуждения: для доказательства утверждения вида A->B, разрешается принять A в качестве дополнительного предположения (условия), и доказать B при этом условии.

(3) Правило Рассуждения От Противного: для доказательства утверждения B достаточно привести к противоречию утверждение not(B), то есть вывести из него как некоторое утверждение A, так и его отрицание not(A).

Помимо этих правил, мы часто применяем и другие -- например "правило разбора случаев". Но все эти правила можно вывести из правил (1), (2), (3), и в таком качестве далее их использовать. Особенность выписанных правил в том, что они позволяют доказать любой "закон логики" на уровне исчисления высказываний. (То есть без использования логических кванторов.) Под "законом логики" здесь понимается такая формула, которая истинна всегда, независимо от истинностных значений входящих в неё высказывательных переменных.

Однако исчисление высказываний представляет собой довольно узкий фрагмент логики, и для получения "полноценной" картины (способной вобрать в себя "всю математику"), нужно привлекать исчисление предикатов, "устройство" которого я коротко напомнил в предыдущем посте. Для формулировки недостающих правил логического рассуждения (а их будет ещё два), мы минимизируем число используемых нами логических кванторов, оставляя лишь квантор всеобщности. Дело в том, что квантор существования через него выражается следующим образом: если нам надо сказать, что существует некий объект x, удовлетворяющий какому-то условию Ф (оно обычно зависит от x, но мы это здесь не выделяем), то вместо этого можно сказать логически эквивалентную по смыслу вещь. А именно, если мы утверждаем, что Ф выполнено для некоторого x, то мы этим отрицаем? Если бы всё обстояло иначе, то Ф не выполнялось бы никогда. То есть при любом x имело бы место не-Ф. Осталось выписать отрицание этого факта. Таким образом, под (Ex)Ф мы в дальнейшем будем понимать не что иное как not((Ax)(not(Ф))) -- отрицание того, что всегда имеет место не-Ф.

Теперь осталось сформулировать ещё два правила, а также добавить одну небольшую оговорку.

(4) Правило Обобщения: если доказана формула вида Ф(x) для произвольного x, то разрешается считать доказанной формулу (Ax)Ф(x).

(5) Правило Перехода К Частному Случаю: Если доказана формула (Ax)Ф(x), то разрешается считать доказанной формулу Ф(t) для любого выражения t.

Чуть позже мы уточним, что мы далее будем понимать под "выражением". Пока ограничимся тем, что в нашей версии изложения в качестве t можно брать либо переменную, либо константу, но о константах мы поговорим в следующем пункте.


Уточнение, которое требуется сделать, касается правила (2). В отличие от исчисления высказываний, условие A из формулировки правила (2), теперь может зависеть от каких-то переменных, то есть иметь вид A=A(x,y,...,z). И в этом случае, когда мы принимаем A в качестве предположения, то мы его принимаем как бы для фиксированных значений переменных x, y, ..., z. И тогда, по смыслу самого этого предположения, мы не можем в процессе доказательства утверждения B применять правило (4) по отношению ни к одной из переменных x, y, ..., z. Эту оговорку мы сейчас вынесем в качестве "дополнения" к правилу (2).

(*) В процессе условного рассуждения, то есть вывода утверждения B из условия A, не разрешается применять Правило Обобщения к переменным, от которых зависит A.

Может так оказаться, что A не зависит ни от каких переменных -- такие формулы мы далее называем замкнутыми. В этом случае никаких ограничений на условное рассуждение оговорка (*) не накладывает.

8. Сделаем некоторое добавление к описанию языка исчисления предикатов. Нам будет нужно, помимо переменных, использовать также константы, то есть специальные символы, вводимые для обозначения фиксированных объектов. О них вообще-то можно было сказать чуть раньше, но мы решили упомянуть о них именно сейчас. Чем отличаются константы от переменных при их использовании? По сути дела, только тем, что по ним нельзя производить обобщение, то есть "навешивать" квантор всеобщности по этим константам. Если x -- переменная, то формула (Ax)Ф, записываемая также иногда в виде (Ax)Ф(x), всегда имет смысл и разрешена к использованию. Но если c есть символ некой константы, то ни (Ac)Ф, ни (Ac)Ф(c) смысла не имеет и формулой не считается.

Нужно иметь в виду, что константы здесь используются "буквенные", а не "численные". Если нам где-то надо будет использовать какую-то константу типа 13, то для неё следует завести отдельный символ. Про каждую букву, которую мы используем, должно быть указано, используем ли мы её в качестве переменной, или в качестве константы. Обычно "по умолчанию" буква считается переменной, если отстутствует специальная оговорка, что некий символ был выбран нами в качестве константы.

В некоторых других версиях изложения, могут использоваться ещё и так называемые "функциональные символы" для обозначения разного рода математических операций, и с их помощью из переменных и констант можно образовывать всё более и более сложные "выражения" или "термы". Но я уже отмечал, что привлечения символов для обозначения операций можно избежать. Например, вместо двуместного функционального символа f, призванного обозначать сложение чисел, то есть f(x,y) обозначает выражение x+y, можно ввести трёхместный предикатный символ S, где S(x,y,z) означает x+y=z. Та версия, которую я излагаю здесь, оказывается проще, то есть от функциональных символов мы просто отказываемся, и тогда нашими "выражениями" будет всего-навсего переменные и константы. Это, в частности, упрощает применение правила (5).

Ещё здесь надо упомянуть, что иногда вместо "чистого" исчисления предикатов, с котором мы здесь имеем дело, рассматривается так называемое "исчисление предикатов с равенством", где символ = для обозначения равенства входит в "комплект", а все свойства отношения равенства предполагаются выполненными "по умолчанию". Для такой версии изложения также верна теорема Гёделя о полноте, и доказывается она, по сути дела, так же точно. Поэтому мы об этой версии исчисления далее говорить не будем. В учебниках этому вопросу обычно посвящены отдельные параграфы.

Сейчас нам надо сказать кое-что о формулах, которые оказываются истинными всегда -- как бы мы их ни интерпретировали. Чтобы не увеличивать "техническую" часть изложения, ограничимся каким-то простым примером. Пусть у нас имеется "теория", в список обозначений которой входит одна "предметная константа" c, один одноместный предикатный символ P и один двуместный предикатный символ Q. Список "аксиом" теории мы выберем следующим (здесь я делаю это более или менее "наобум"; с таким же успехом можно было написать в качестве примера и что-то другое). Итак:

(Ax)(P(x)->(Ey)Q(x,y))
not((Ex)Q(x,c))

В выписанных нами формулах, буквы c, P и Q не значат пока ничего. Вообще не известно, для каких "нужд" тут они введены. Поэтому сами формулы суть не что иное как чисто синтаксические выражения, не имеющие никакого "смысла". Но им можно придавать разные "смыслы", как-то пытаясь их содержательно интерпретировать. Когда мы строим интерпретацию формул, то прежде всего задаём "предметную область", обозначаемую далее буквой D. Она может состоять из чего угодно, она может быть конечной или бесконечной по нашему усмотрению. Но требуется, чтобы эта совокупность не была "пустой", то есть она включала в себя хотя бы один "объект". Роль "объектов", как уже говорилось, может играть что угодно.

Допустим, мы решили, что D будет множеством целых чисел. Теперь нам надо указать, как мы интерпретируем константу c. Мы должны выбрать для неё значение, равное какому-то фиксированному целому числу. Положим, например, c=0. Далее нужно как-то проинтерпретировать свойство P(x). Произвол в выборе здесь невероятно велик. Мы можем потребовать, чтобы P(x) означало положительность числа x. Можем потребовать вместо этого, чтобы x не превышало 100. А можем потребовать, чтобы P(x) означало, что x было равно либо 3, либо 7, либо 11. То есть абсолютно любое свойство чисел можно взять -- ограничений нет никаких. Остановимся на самой первой из версий, то есть P(x) будет далее означать, что x больше нуля.

Теперь настал черёд проинтерпретировать содержательно, что такое Q(x,y). Вот несколько примеров, что под этим можно было бы понимать: a) x=y; b) x>y; c) x+2y<100; d) x=13; e) x и y совершенно произвольны. Среди всех этих интерпретаций, а также каких угодно остальных, в данном случае мы не ищем что бы то ни было "разумное". Напротив, сейчас важно осознать, что интерпретация может быть какой угодно, в том числе совершенно "дикой".

После того, как интерпретация задана, каждая формула становится высказыванием, то есть она становится истинной или ложной в заданной интерпретации. Когда мы меняем интерпретацию, то может меняться и истинностное значение высказывания. Мы сейчас для c и для P(x) "закрепим" то, что про них было сказано, что есть c полагаем равным нулю, а P(x) у нас означает, что x>0. А вот для Q(x,y) мы будем по отдельности рассматривать каждую из интерпретаций a) - e).

При этом оказывается, что формула (Ax)(P(x)->(Ey)Q(x,y)) окажется истинной во всех этих интерпретациях кроме d). Рекомендуем всем желающим это проверить. Что касается формулы not((Ex)Q(x,c)), то она во всех пяти случаях a) - e) оказывается ложной! Например, в случае a) эта формула утвеждает, что не существует такого целого числа x, которое было бы равно нулю, но это неправда. Таким образом, ни одна из интепретаций для Q, которые нами были рассмотрены, не даёт нам модель нашей "теории". Примеры мы приводили, не заботясь о будущей истинности наших формул. Если бы мы поставили себе целью сделать обе формулы истинными в данной интерпретации, то в качестве Q(x,y) нам можно было бы взять, например, такое условие как 2x+y=1. Тогда вторая из наших формул становится истинной, потому что на самом деле не существует такого целого x, для которого выполнено равенство 2x+c=1, поскольку c=0. И первая формула у нас остаётся истинной, потому что для любого целого x, в том числе и для положительного, найдётся такое целое y, при котором будет верно Q(x,y) -- достаточно положить y=1-2x. Таким образом, рассмотренная нами "теория" имеет "модель". Конечно, это не есть пример какой-то "интересной" теории, для которой существование модели трудно установить -- это не более чем иллюстрация вводимых понятий.

9. Выше мы сказали о том, что такое интерпретация формул, и что такое модель теории. А сейчас следует особо выделить такой класс формул, которые истинны всегда, при любой возможной интерпретации. Про такие формулы можно сказать, что они представляют собой "законы логики" -- при самом широком понимании последних. Их также принято называть "тождественно истинными" формулами, или тавтологиями. Есть также синоним -- "логически общезначимые" формулы.

Приведём несколько примеров тавтологий. Скажем, таковой будет формула (Ax)(P(x)->P(x)): она будет истинна всегда -- как бы мы ни интерпретировали P(x). Это действительно "тавтология" даже в "обыденном" понимании слова -- здесь фактически сказано, что из какого-то высказывания следует оно само. Но не все тавтологии таковы -- среди них бывают очень и очень сложные. Более того, я в самом начале одного из старых своих постов показывал, что любое содержательное утверждение можно сформулировать в виде некоторой тавтологии. Этот аргумент я считаю важным, поэтому не лишне его напомнить.

Допустим, мы доказали какое-то содержательное математическое утверждение T, то есть вывели его из аксиом A, B, ..., C. Если теперь мы составим формулу (A and B and ... and C -> T), то она будет истинна всегда, то есть будет тавтологией. Его надо отличать от самого утверждения T, которое тавтологией, вообще говоря, не будет, и доказательство его "истинности" проведено в предположении "истинности" исходных посылок A, B, ..., C. Однако из этих посылок T выводится уже при помощи рассуждений чисто логических, то есть выписанная нами формула (A and B and ... and C -> T) допускает чисто логическое доказательство, а потому истинна всегда, независимо от своей внутренней "начинки". Знание того, будет ли эта формула тавтологией, равноценна знанию того, выводится ли утверждение T из наших аксиом, а это есть уже некий вполне содержательный факт.

Приведём другие примеры тавтологий, которые менее "очевидны". Например, таковой будет формула (Ey)(Ax)Q(x,y) -> (Ax)(Ey)Q(x,y). Она будет истинна всегда, независимо от того, как и на какой области мы проинтерпретируем Q. Убедиться в этом весьма легко, если вдуматься в смысл того, о чём здесь говорится. Можно также предъявить и чисто логическое доказательство этой тавтологии, опираясь на правила (1) -- (5). Желающие в этом опять-таки могут убедиться.

А вот если мы поменяем местами посылку и заключение, то формула (Ax)(Ey)Q(x,y) -> (Ey)(Ax)Q(x,y) тавтологией уже не будет. Имеется очень много интерпретаций, в которых эта формула оказывается ложной. Например, если в качестве "предметной области" взять множество чисел (натуральных, целых -- каких угодно), а за Q(x,y) принять факт равенства этих чисел, то есть x=y, то можно пронаблюдать, что при этом получится. Посылка импликации окажется истинной, потому что для любого числа x существует число y, равное ему -- это само число x и есть. А вот заключение импликации будет уже ложно: оно утверждает, что существует некоторое "волшебное" число y, которое равно каждому числу x. Понятно, что такого быть не может, и наша импликация оказывается ложной в указанной интерпретации. Тем самым она уже не есть тавтология -- даже если бы оказалось, что во многих других интерпретациях она истинна.

Зададимся теперь вопросом, какой набор правил логического рассуждения можно было бы назвать "полным"? Всё, что можно вывести при помощи этих правил, всегда истинно, при какой бы то ни было интерпретации. То есть логически выводятся "из ничего" только тавтологии, сиречь "логические законы". Но все ли это тавтологии? Теорема Гёделя о полноте как раз и утверждает (в одной из своих формулировок), что все без исключения. Это подтверждает, что система правил логического вывода (1) -- (5) полна в означенном выше смысле.

В самом начале нашего изложения мы формулировали теорему как утверждение о том, что всякая непротиворечивая теория имеет модель, и обещали изложить доказательство. Это сейчас и будет проделано, но для начала мы покажем, почему из этого факта сразу же вытекает выводимость любой тавтологии. Рассуждение очень простое: возьмём произвольную тавтологию Ф. Рассмотрим "теорию", состоящую из одной-единственной формулы not(Ф), которая есть отрицание Ф. Может ли эта теория иметь модель? Очевидно, нет: поскольку Ф -- это тавтология, она истинна во всех интерпретациях. Поэтому not(Ф) ложна во всех интерпретациях, то есть в принципе невозможно указать модель для нашей теории из одной формулы. Тогда отсюда вытекает, что наша теория противоречива (мы опиремся здесь на пока что не доказанный факт о наличии хотя бы одной модели у всякой непротиворечивой теории). Противоречивость означает, что из условия not(Ф) выводится логическое противоречие. Но тогда, согласно правилу (3) рассуждения "от противного", это логически доказывает формулу Ф, что мы и хотели установить.

10. Итак, сейчас нам осталось изложить главную часть -- доказательство того факта, что всякая непротиворечивая теория T имеет модель. Оценим, что нам для этого может потребоваться. Представим себе на время, что искомая модель уже построена, и мы о ней "всё знаем". Тогда для любой замкнутой формулы (то есть формулы, не зависящей от переменных) мы знаем, истинна или ложна она на этой модели. Все формулы нашей теории T должны при этом войти в число истинных формул. То есть теория T станет частью какой-то большей теории T*, состоящей из всех истинных на модели формул. Последняя теория будет непротиворечивой (так как имеет модель), и она кроме всего прочего будет полной, то есть для любой замкнутой формулы Ф она будет содержать либо Ф, либо not(Ф).

Те читатели, которые знакомы с теоремой Гёделя о неполноте, не должны упускать из виду одно обстоятельство: эта знаменитая теорема ни в коем случае не утверждает, что полных непротиворечивых теорий не существует. Они, конечно же, существуют, даже будучи "достаточно сильными", то есть при условии, что они "содержат арифметику". Дело в том, что в теореме о неполноте важнейшим условием является то, что аксиомы теории "явно заданы", то есть существует чисто "механическая" процедура отличения аксиом от всего остального. Но когда мы работаем с классом всех истинных формул (допустим, для той же арифметики), у нас нет в распоряжении средства отличить истинную формулу от не истинной. Наличие такого средства означало бы, что мы вообще досконально изучили "всю математику".

Итак, продолжим наше изложение. Помимо того, что было сказано выше о теории T*, она обладает ещё одной важной особенностью. Представим себе некоторое "всеобщее" утверждение, которое на нашей модели (существование которой мы временно предположили) не выполнено. То есть некоторая формула вида (Ax)Ф(x) является ложной. Согласно определению истинности формул (вытекающему из содержательной трактовки квантора всеобщности), формула Ф(x) должна быть ложна на некотором элементе d предметной области D нашей модели. При этом удобно расширить наш язык, пополнив его новыми константами -- элементами множества D, из которых состоит модель. В этом случае Ф(d) получится формулой, и тогда она должна принадлежать теории T* (с учётом "обогащения" языка, которое мы сделали). Поэтому далее мы можем попытаться построить такую непротиворечивую теорию T*, которая содержала бы T, была полной, а также для любого "всеобщего" утверждения, которое не должно быть истинным, содержала бы частный пример, указывающий на то, на каком именно элементе не выполняется условие вида Ф(x).

Проведённый выше анализ позволяет ответить на вопрос, из чего следует пытаться строить модель. Ведь поначалу это совершенно не ясно: у нас есть лишь набор формул без какой-либо содержательной интерпретации. И потому оcтаётся открытым вопрос о "строительном материале". В любом случае, мы собираемся строить модель из каких-то букв, символов. Но каков содержательный смысл этих символов? Сделанные нами рассуждения "эвристического" характера подсказывают, что модель должна строиться из контрпримеров к "всеобщим" утверждениям теории. Здесь подразумеваются, конечно, те всеобщие утверждения, которые "не верны". В нашем случае это будет означать, что в той теории, которую мы будем строить, расширяя T (и имея в виду получение теории T*), часть "всеобщих" (то есть начинающихся с квантора всеобщности) утверждений будет опровергаться. И вот из контрпримеров к ним мы и будем строить модель.

Мы ограничимся при нашем доказательстве случаем, когда множество символов теории является счётным, то есть эти символы можно занумеровать натуральными числами. Хотя не всякое множество таково (скажем, точки прямой занумеровать нельзя в силу классической теоремы Кантора -- их оказывается "слишком много"), этот случай будет рассмотрен нами как основной, так как на нём проще всего проследить "пружины" доказательства. В конце мы сделаем замечание, касающееся того, как можно перенести это доказательство и на самый общий случай.

Наша стратегия будет такой: мы будем постепенно расширять теорию T с обязательным условием, что при расширении мы не теряем свойство непротиворечивости, за чем мы будем постоянно следить. Помимо добавления новых утверждений к теории, мы будем расширять и её "сигнатуру", то есть в данном случае -- набор предметных констант. Это расширение будет делаться посредством бесконечной серии этапов, и на каждом этапе у нас будет иметься некая непротиворечивая теория S, содержащая T. Опишем сейчас две основные операции, которые мы будем осуществлять на каждом этапе.

Прежде всего, мы будем строить пополнение теории S следующим образом. Занумеруем каким-то образом все замкнутые формулы теории S. Их будет бесконечно много; обозначим их через Ф1, Ф2, ..., Фn, ... . Идя вдоль этого бесконечного списка, мы каждую очередную формулу будем либо присоединять к нашей теории, либо пропускать. Руководствуемся мы при этом одним очень простым правилом. Если присоедиение очередной формулы Фn к уже имеющейся на данном шаге теории приводит к противоречию, то мы эту формулу пропускаем, а в противном случае -- присоединяем. Такая процедура гарантирует непротиворечивость того, что мы имеем, просто по построению. В результате этого бесконечного процесса присоединения к теории новых формул, из теории S возникает непротиворечивая теория, которую мы будем обозначать через C(S) и называть "пополнением" теории S. Принцип её построения очень простой: мы хотим "определиться" по каждому вопросу, который в принципе может возникнуть, и мы при этом соглашаемся со всем, с чем в принципе можем согласиться, избегая возникновения противоречий.

Тут уместно напомнить, что непротиворечивость теории, возникающей после просмотра очередной формулы списка имеет место в силу выбранного нами принципа, и потому C(S) тоже непротиворечива в силу уже звучавшего однажды соображения. Противоречие, которое следует из бесконечного множества формул, следут также и из конечной "части" этого множества -- просто в силу того, что в любом доказательстве, представляющем собой текст конечной длины, мы ссылаемся лишь на конечное число "аксиом". Поэтому, если бы противоречие возникло после присоединения бесконечного числа формул, нами добавленных, то оно возникло бы на каком-то конечном шаге, чего быть не может. Ещё было бы естественно обосновать, почему теория C(S) получается полная, что оправдывало бы её название. Этот факт хотя и верен, но он нам не нужен: мы после завершения всего "строительства" проверим полноту той теории, которая нам будет реально нужна.

Теперь опишем вторую операцию, которую мы будем осуществлять по отношении к теориям. Это как раз и есть то самое расширение "алфавита" предметных констант -- с присоединением новых утверждений с участием этих символов. Как мы сказали, возникновение каждой новой константы мы связываем с обнаружением "всеобщего" утверждения, которое "не выполняется". В последнем мы можем быть уверены тогда, когда мы располагаем отрицанием такого утверждения, то есть имеющаяся на тот момент теория у нас содержит формулу вида not((Ax)Ф(x)). По своему смыслу, эта формула означает существование "контрпримера" к Ф, то есть такого x, для которого выполнено not(Ф(x)). То есть это на самом деле есть утверждение о существовании чего-то. Хотя мы отказались от использования квантора существования, но такие формулы мы далее будем называть "экзистенциальными", или E-формулами. А всю операцию в целом, которую сейчас опишем -- экзистенциальным пополнением теории S. Обозначаться она будет через Ex(S).

Строится она вот как. Прежде всего, все E-формулы теории S мы нумеруем. Это даёт нам бесконечный список, идя вдоль которого мы на каждом шаге будем работать с какой-то E-формулой вида not((Ax)Ф(x)). Мы будем всякий раз добавлять свою константу d для каждой такой формулы (я использую "общее" обозначение d, дабы не вводить серию букв с индексами) и добавляем к теории новую формулу not(Ф(d)), смысл которой в том, что Ф не выполнено на элементе d.

Это ключевой момент доказательства. Нужно обосновать, почему присоединение такой формулы не приводит нас к противоречию. Допустим, что противоречие всё-таки возникло. Поскольку предыдущая теория была непротиворечивой, это означает, что в ней выводимо отрицание той формулы, которую мы присоединили. То есть выводима формула Ф(d) -- опять же в силу рассуждения "от противного": коль скоро отрицание Ф(d) ведёт к противоречию, то это доказывает Ф(d). (Ещё точнее было бы сказать, что эта выводимость имеет место в той теории, которая была на предыдущем шаге, и к которой мы добавили новый символ d в качестве предметной константы.) Теперь сделаем вот что: в имеющемся доказательстве заменим во всех формулах "свежую константу" d, которая ни в одной из формул теории ранее не встречалась, на какую-то переменную x, которая также в доказательстве не использовалась. Что мы этим получим? Не что иное, как вывод формулы Ф(x). Если мы теперь применим правило (4), то это позволяет нам считать доказанной "обобщённую" формулу, то есть (Ax)Ф(x). Заметим, что этот вывод может быть осуществлён в теории, которая была у нас до того, как мы добавили новую формулу. Однако в этой теории у нас была формула not((Ax)Ф(x)), которая прямо противоречит тому, что мы вывели. Такого быть не может, так как у нас все рассматриваемые теории непротиворечивы. То есть мы показали этим рассуждением, что наше допущение о возникновении противоречия после добавления новой формулы Ф(d), приводит нас к ситуации, которой быть не может. Следовательно, после присоединения новой формулы противоречия не будет.

11. Мы прошли сейчас как бы через "перевал". Далее последует относительно лёгкий "спуск". Мы строим "экзистенциальное пополнение" теории S, добавляя новые константы и новые формулы, и получаем в итоге непротиворечивую теорию Ex(S). Это завершает описание второй важной операции, которую мы будем применять к нашим теориям. Теперь вот как будет выглядеть основная конструкция, которая также будет строиться по шагам. Мы последовательно будем строить теории T0, T1, ..., Tn, ... , где в качестве T0 будет взята сама наша "изначальная" теория T, для которой мы хотим построить модель. Теория T1 получается из неё так: мы сначала применяем к T0 первую операцию (то есть "пополнение"), а потом к получившейся теории -- вторую операцию ("экзистенциальное пополнение"). Точно так же строим T2: пополняем T1, и "экзистенциально пополняем" то, что при этом получается. Можно записать общее правило перехода от теории Tn к "следующей" теории Tn+1 в виде формулы:

Tn+1 = Ex(C(Tn))

В итоге у нас возникает расширяющаяся "цепочка" теорий, каждая из которых является частью всех остальных. В силу того, что обе операции сохраняют непротиворечивость теорий, каждая наша теория Tn будет непротиворечива. Объединение всех этих "расширяющихся" теорий мы обозначим через T*, и оно тоже будет непротиворечиво как теория. Сейчас нам нужно проверить, что полученная теория полна. Напомним, что это означает: что для любой замкнутой формулы Ф, у нас либо сама Ф, либо её отрицание принадлежит T*.

Формула Ф может содержать константы, которые мы добавляли в процессе наших построений. Но этих констант в любом случае конечное число, и на каком-то n-м шаге все они были уже добавлены. Это означает, что при переходе от теории Tn к теории Tn+1, на этапе построения пополнения теории Tn, мы непременно просматривали формулу Ф в числе прочих замкнутых формул. Каждую из просматриваемых формул мы либо присоединяли, либо отвергали. И если мы присоединили Ф, то доказывать нечего: она у нас входит в T*. А что значит, что мы её отвергли? Это значит, что её присоединение к теории в момент рассмотрения приводило бы к логическому противоречию. Тогда присоединение Ф к более "широкой" теории T* тем более должно приводить к противоречию. Запомним это, и применим те же соображения к формуле not(Ф), которая тоже замкнута, и содержит те же константы. Если мы её присоединяли в процессе просмотра, то доказывать опять-таки нечего. А если отвергли, то присоединение not(Ф) к T* даёт противоречивую теорию. Мы вообще-то уже анализировали такую ситуацию, и знаем, что это значит: мы сначала выводим из not(Ф) противоречие, оставаясь в пределах теории T*. Затем, применяя правило (3), мы тем самым "от противного" выводим Ф в теории T*. Но присоединение к теории T* её логического следствия, каковым является Ф, ни к какому противоречию приводить не может, поскольку T* непротиворечива. Осталось сравнить это с тем, что мы запомнили выше, откуда станет ясно, что T* обязана быть полной.

Итак, мы осуществили своего рода "программу-минимум", построив ту теорию T*, о которой мы говорили в ходе наших "эвристических" рассуждений. Как же теперь построить модель? Понятно, что в качестве предметной области D надо взять не что иное как множество всех предметных констант, добавляемых нами в ходе всего процесса. Это будет некое счётное множество. Теперь надо проинтерпретировать символы нашего языка, на котором пишутся формулы теории T. Мы проинтерпретируем сразу все символы "объемлющей" теории T*, причём константы можно не интерпретировать -- они как бы "играют самих себя", так как входят в предметную область. Интерпретировать нужно лишь предикатные символы. Пусть P -- один из таких символов, и пусть он будет k-местным. Ему надо сопоставить отношение на D, тоже k-местное, то есть про любой упорядоченный набор из k элементов множества D (не обязательно различных), нужно сказать, в каком случае мы считаем, что эти элементы находятся в рассматриваемом отношении. Решение вопроса тут напрашивается само собой: надо подставить эти элементы в роли констант в предикат P, что даст нам замкнутую формулу вида P(d1,..., dk). Теории T* принадлежит либо сама эта формула, либо её отрицание, причём ввиду непротиворечивости верно только одно из этих положений. Если формула входит в T*, то считаем, что наши элементы предметной области находятся в данном отношении, а если не входит, то не находятся. Мы сделали не что иное, как "содержательно" проинтерпретировали предикатный символ P, и так следует поступить с каждым из символов.

Поскольку интерпретация построена, то про каждую замкнутую формулу языка теории T* можно говорить, истинна или ложна она в этой интерпретации. Чего нам не хватает? Мы хотим доказать, что все положения теории T в построенной интерпретации истинны. То есть получена искомая модель M теории T. Для того, чтобы сделать этот последний шаг в нашем доказательстве (являющийся по сути проверкой) мы докажем вот что: всякая замкнутая формула теории T* истинна на M (то есть в построенной интерпретации) тогда и только тогда, когда эта формула принадлежит T*. Иными словами, мы хотим проверить то, что T* есть не что иное как список всех истин, касающихся M. Хочется назвать M словом "модель", но пока это преждевременно, так как M пока что есть лишь интерпретация теории (с предметной областью D), и мы сейчас проверим, что это в самом деле модель теории T (и даже теории T*).

ПРОДОЛЖЕНИЕ (часть 3)
http://falcao.livejournal.com/190577.html

К ОБСУЖДЕНИЮ
http://falcao.livejournal.com/190186.html
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пт Янв 08, 2010 6:19 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

Пишет Falcão (falcao)
@ 2009-12-29 02:38:00
http://falcao.livejournal.com/190577.html
теорема Гёделя о полноте -- 3
Цитата:
Это третья, завершающая часть поста. Комментарии отменены; обсуждение всех трёх частей проводится здесь.

Часть первая
Часть вторая


12. Вспомним, как у нас строятся формулы. Мы не давали формального определения, а давали лишь описание. Сейчас мы из этого описания извлечём то, что нам нужно, причём говорить будем лишь о замкнутых формулах теории T*. Всякая такая формула, как было нами ранее сказано, строится при помощи логических связок и кванторов из более простых формул, а в основе всего лежат так называемые "атомарные" формулы, которые в нашем случае имеют вид P(d1,..., dk), где в предикатный символ подставлены некие константы. Для таких формул мы уже знаем, что они истинны тогда и только тогда, когда принадлжет теории T*. Удобно ввести "рабочий" термин на время доказательства: называть замкнутую формулу корректной, если она либо истинна и при этом принадлежит T*, либо ложна и при этом не принадлежит T*. Истинность и ложность здесь понимаются, конечно же, в интерпретации M, так как никакой другой у нас нет.

Все замкнутые формулы можно естественным образи разбить на "классы сложности", обращая внимание на то, сколько они содержат логических символов -- связок и кванторов вместе взятых. Атомарные формулы будут относиться к классу 0, и про них мы уже знаем, что они корректны. Мы будем постепенно переходить от более простых формул к более сложным, сначала убеждаясь в корректности формул класса 1, затем -- класса 2, и так далее для всех формул. Поэтому следует проанализировать случай формулы, содержащей связки или кванторы, и убедится в её корректности -- в предположении, что мы это уже сделали для формул более простых, содержащих меньше связок и кванторов, то есть принадлежащих каким-то предыдущим, уже рассмотренным классам.

В соответствии с правилами построения формул, может возникнуть три случая. Замкнутая формула, которую мы анализируем на предмет корректности, может быть либо а) отрицанием формулы, либо б) импликацией формул, либо в) получаться из некоторой формулы при помощи "навешивания" квантора всеобщности. Все эти случаи мы сейчас и рассмотрим.

а) Ф есть отрицание некоторой формулы, то есть имеет вид not(Ψ). Заметим, что корректность Ψ нам уже известна, так как она принадлежит предыдущему, уже рассмотренному классу. Если Ψ истинна и принадлежит T*, то Ф ложна, и не принадлежит T* ввиду непротиворечивости теории. Если Ψ ложна и не принадлежит T*, то Ф, соответственно, истинна, и принадлежит T* -- теперь уже ввиду полноты теории. То есть Ф корректна.

б) Пусть теперь Ф имеет вид импликации: (Ψ1 -> Ψ2). Каждая из формул Ψ1, Ψ2 не содержит символа -> посередине, а потому она входит в один из предыдущих классов, то есть обе эти формулы корректны. В зависимости от того, истинны они или ложны, возникают три подслучая.

(i) Ψ1 ложна и не принадлежит T*. Тогда Ф как импликация с ложной посылкой оказывается истинной, и нам надо убедиться в том, что она входит в T*. Прежде всего, формула not(Ψ1) имеется в T* ввиду полноты, и остаётся сослаться на тот факт, что из not(Ψ1) логически следует Ψ1 -> Ψ2 по правилам логического рассуждения. Это очень простой факт на уровне исчисления высказываний, но мы коротко напомним обоснование. Нужно принять посылку импликации и вывести её заключение, что далее нас приводит к цели ввиду правила (2). Но принятие посылки импликации создаёт ситуацию противоречия, где выводимым является что угодно при помощи универсального "трюка": надо инициировать рассуждение от противного, предположив, что доказывамое не имеет места, после чего заявить об имеющемся противоречии. Действуем мы при этом строго в соответствии с правилами. Таким образом, мы выводим Ф и тем самым получаем, что Ф принадлежит T*.

(ii) Ψ2 истинна и принадлежит T*. Здесь Ф также истинна по определению импликации, и достаточно вывести Ф из Ψ2. Делается это опять-таки при помощи тавтологий исчисления высказываний, и я напомню, как именно. Доказывая импликацию, мы принимаем её посылку, а потом обнаруживаем, что заключение её у нас уже есть. Тем самым импликация доказана ввиду (2). Здесь фактически реализован тот принцип, что если нечто "верно", то оно тем более будет верным и "условно", то есть с учётом дополнительного условия, которое здесь просто упоминается для соблюдения необходимых формальностей.

(iii) Ψ1 истинна, Ψ2 ложна. Это случай, когда импликация Ф ложна. Ввиду корректности формул Ψ1 и Ψ2, а также полноты теории T*, мы можем опереться на то, что в эту теорию входят Ψ1 и not(Ψ2). Убедится же нам надо в том, что Ф отсутствует в T*, для чего достаточно убедиться в совсем простой вещи: что Ф вступает в противоречие с предыдущими двумя формулами. Что очевидно, так как из Ψ1 и Ψ1 -> Ψ2 по правилу (1) выводится Ψ2, и возникает противоречие с not(Ψ2).

Во всех трёх подслучаях импликация Ф оказалась корректной.

в) Ф имеет вид (Ax)Ψ(x) для некоторой формулы Ψ, которую мы для удобства записали в виде Ψ(x). Возможно два варианта: либо Ф входит в T*, либо не входит. В первом случае надо установить её истинность, а во втором -- ложность.

Пусть Ф входит в T*. Предположим, что она не будет истинной. Это означает, что Ψ(x) выполняется не для всех d из D, а потому при некотором d формула Ψ(d) ложна. Поскольку эта формула замкнута, и она "утратила" квантор, то она входит в уже рассмотренный ранее класс формул, про которые установлена их корректность. Поэтому Ψ(d) в теорию T* не входит, и тогда ввиду полноты, туда входит её отрицание not(Ψ(d)). Однако к формуле Ф можно применить правило (5) перехода к частному случаю, выводя из (Ax)Ψ(x) её частный случай Ψ(d), который тем самым входит в T*. В итоге мы обнаруживаем в T* две прямо противоречащие друг другу формулы, а этого быть не может. Следовательно, наше предположение ошибочно, и Ф обязана быть истинной.

Пусть теперь Ф не входит в T*. Так как T* полна, в неё входит not(Ф), то есть not((Ax)Ψ(x)). Но это есть не что иное как E-формула, и мы её просматривали на каком-то из этапов, строя экзистенциальное пополнение теории C(Tn). В этот момент мы добавляли специальную константу d, а к теории присоединяли формулу not(Ψ(d)). Формула Ψ(d) замкнута, а также корректна, так как принадлежит предыдущему классу. Она не может входить в T* ввиду непротиворечивости последней, то есть она ложна. Откуда сразу ясно, что Ф также ложна, поскольку ложным оказывается частный случай формулы Ψ(x), возникающий при подстановке d вместо x.

Итак, все проверки завершены, и нами построена модель M непротиворечивой теории T. Легко заметить, что она всегда является счётной. Иногда её возможно бывает "сжать" даже до конечной, отождествляя те элементы, роль которой во всех рассматриваемых свойствах неотличима. Полезно также отследить использование нами всех пяти правил логического рассуждения в ходе проверок.

Есть ещё момент, который я считаю очень важным: мы построили модель, и хочется спросить, а единственна ли она? Ответ в подавляющем большинстве случаев отрицательный, то есть обычно таких моделей бывает очень много, и они друг от друга отличаются при помощи каких-то свойств, выразимых на языке теории. Причину этого явления можно понять вот как. Когда мы нумеруем формулы, то эта нумерация может быть осуществлена как угодно. И когда мы "определяемся" по каждому вопросу, то может так оказаться, что в принципе мы могли бы принять как Ф, так и не-Ф, потому что ни одно из этих положений из всего предыдущего логически не следует. Поскольку описанный нами способ заключается в том, что мы соглашаемся со всем, что не ведёт к противоречию, то при одной нумерации формул, когда Ф нам встретится раньше, мы в конце концов построим модель, на которой выполнено условие Ф. А если нумерация устроена иначе, и нам раньше встретится формула not(Ф), то примем мы уже её (а Ф потом, конечно, отвергнем), и построенная модель условию Ф удовлетворять не будет. Учитывая то, по скольким вопросам, где априори допустимы оба ответа, мы можем по-разному "определиться", можно себе представить, какое огромное количество моделей при этом процессе в принципе может возникнуть. Это говорит не о чём ином как о невероятном изобилии "возможных миров".

Мы также обещали сказать, что будет, если мы работаем с несчётными множествами символов. Здесь разница только в том, что вместо нумерации формул натуральными числами и проведения "обычной" индукции при построениях, нужно опираться на "нумерацию" элементов множеств "порядковыми числами" или "ординалами", которые суть обобщение натуральных чисел. Такое всегда возможно, если применить теорему Цермело -- следствие "аксиомы выбоа" в теории множеств. Индукция же при этом становится "трансфинитной". В остальном же никаких отличий от счётного случая не имеется. (Понимание этого абзаца теми, кто не имеет специальной подготовки, не предполагается.)

В заключение хотелось бы подчеркнуть, что если рассмотреть какую-либо "абстрактную" математическую задачу в очень общей постановке -- когда речь идёт о доказательстве чего-то, о выводе какого-то положения из аксиом, то возможны две принципиально разные ситуации. Такое доказательство либо возможно, либо невозможно. В первом случае его можно предъявить -- хотя бы в принципе, поскольку оно являет собой некий построенный по чётким правилам текст конечной длины. Во втором же случае, когда доказательтва не имеется, ввиду теоремы Гёделя о полноте должен существовать "контрпример" вот в каком смысле: должна существовать такая модель, на которой выполнены все "аксиомы", а то положение, которое мы хотели доказать -- не выполнено. Надо заметить, что хотя это и всегда возможно, но реальное построение такой модели зачастую оказывается очень трудным, поскольку "материала" для построения возможных моделей так много, что он не подлежит какому бы то ни было "перебору" -- в отличие от текстов. Последнее замечание наводит на мысль о "творческой неисчерпаемости" той части математической деятельности, которая относится к созданию новых конструкций (моделей).

К ОБСУЖДЕНИЮ
http://falcao.livejournal.com/190186.html


Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пн Май 10, 2010 12:25 pm    Заголовок сообщения: Что такое математика. Ответить с цитатой

Пол Локхард
http://www.mathforum.ru/forum/read/1/23135/
http://www.nbspace.ru/math/

Цитата:
Плач математика
Вступление.
От переводчика


Представляю вам свой перевод эссе Пола Локхарда «Плач математика» (Paul Lockhart. A Mathematician's Lament) о преподавании математики в средней школе. Хотя в сочинении говорится об американской современной средней школе, многие проблемы, идентифицируемые Локхардом, относятся, по моему мнению, к любой стране мира, за исключением, возможно, Эльдорадо, которой нет. Еще менее привязаны к американской реальности размышления автора о том, что такое математика и как она должна преподаваться.

Даже если вы не математик и не имеете отношения к преподаванию, думаю, вы найдете это эссе интересным, а возможно, и сделаете для себя несколько небольших открытий и сломаете кое-какие стереотипы. В конце концов, вы ведь учили математику в школе!

Все комментарии в сносках мои. Их следует разделить на два типа: первые — именные, где я обязательно привожу английское и/или оригинальное написание имени, чтобы вам было легче найти библиографическую информацию; вторые — кратко разъясняющие некоторые реалии американской жизни, без понимания которых определенный смысл текста будет утерян.

Перевод всего эссе не завершен; здесь примерно половина текста, откомментированная, но, к сожалению, не вычитанная корректором, и потому корявая и полная опечаток. Прошу вашего прощения за «сырое» издание; мною движет желание поскорее поделиться этим замечательным сочинением. Будет и полный текст в виде одного файла, уже откорректированный, но на это потребуется некоторое время.
L. Fregimus Vacerro (fregimus)


Предисловие

Эссе «Плач математика» написано Полом Локхартом, учителем математики в школе Св. Анны в Бруклине (шт. Нью-Йорк), в 2002 г. С тех пор оно стало известно в кругах математиков и преподавателей математики, но он так и не опубликовал его. Случайно обнаружив это сочинение несколько месяцев тому назад, я сразу решил, что оно заслуживает более широкой аудитории. Я связался с Полом, и он позволил мне опубликовать этот «плач» в «Эм-Эй-Эй Онлайн1». Положа руку на сердце, это лучшая критика школьного математического образования, какую я только встречал.

Пол — ученый-математик, посвятивший свою карьеру преподаванию математики в школе. Он заинтересовался математикой в возрасте 14 лет (и не в школе, как он попросил уточнить) и читал запоем, в основном заинтересовавшись аналитической теорией чисел. Бросив учебу на первом курсе, он посвятил себя математике, зарабатывая на жизнь программированием и преподаванием в начальной школе. Затем он начал работать с Эрнстом Штраусом2 в университете Калифорнии в Лос-Анджелесе. Штраус познакомил его с Эрдёшем3, который устроил Локхарта в аспирантуру. Локхарт защитил диссертацию в университете Коламбия в 1990 г., и был сотрудником Института математических исследований (MSRI) в Беркли и профессором в университете Брауна (шт. Род-Айленд) и в университете Калифорнии в Санта-Круз. Его научные интересы включают автоморфные функции и диофантову геометрию.

После нескольких лет преподавания математики в университете Пол решил вернуться в школу и учить детей. В 2000 г. он нашел работу в школе св. Анны, где, по его словам, «счастлив преподавать настоящую математику самым подрывным образом».

Он преподает математику во всех классах, от подготовительного до 12-го, и особенно заинтересован прививать математический взгляд самым маленьким ученикам. «Я хочу дать им понять, что их ум — это игровая площадка, и математика случается именно там. Я наблюдаю огромный энтузиазм и у детей, и у родителей, и гораздо меньший у администраторов средней руки», — писал он мне. Где-то я такое уже слышал…

Кит Девлин
4, март 2008 г.




Пол Локхард.
Плач математика


Музыкант просыпается от кошмарного сна.
Во сне он видел, будто музыкальное образование стало обязательным. «Мы помогаем ученикам вступить в этот заполненный звуками мир», — преподаватели, школьная система и государство принялись за этот жизненно важный проект.
Проводятся исследования, образуются комиссии, принимаются решения…
И все это без единого совета музыканта или композитора!

Музыканты, как известно, записывают свои идеи нотами; выходит, эти черные кружочки и палочки и есть «язык музыки».
Важно, чтобы ученики свободно говорили на этом языке, если они собираются выучиться музыке; само собой, было бы абсурдно ожидать от ребенка, что он сможет спеть песенку или сыграть мелодию на каком-нибудь инструменте, если он не выучил музыкальной нотации и теории.
А играть и слушать музыку, не говоря уж о сочинении собственной пьесы, учат в вузе и в аспирантуре.


А цель обучения младших и средник классов — научить школьников языку музыки: надо ведь заучить все правила обращения с этими символами!
«На уроке музыки мы берем нотную бумагу, учительница пишет на доске ноты, а мы переписываем их или транспонируем в другую тональность.
Нам надо научиться рисовать скрипичный и басовый ключи, и не путаться с тональностями.
Наша учительница очень строгая.
Она всегда смотрит, чтобы четвертные ноты были полностью закрашены.
Однажды я решала хроматическую шкалу, и все сделала верно, но мне поставили двойку, потому что я нарисовала штили не в ту сторону».


Даже самые маленькие могут этому научиться!
Третьекласснику стыдно не знать квинтового круга.
«Мне пришлось нанимать сыну репетитора.
Он просто не может делать домашнюю работу по музыке.
Канючит, что ему скучно.
Смотрит в окно, что-то насвистывает и напевает дурацкие песенки».


В старших классах программа напряженная: ученики готовятся к ЕГЭ и вступительным экзаменам.
Они изучают гаммы и лады, разные размеры, учат гармонию и контрапункт.
«Им надо многому научиться, но на младших курсах, когда они услышат все это, они поймут, как важно было пройти школьную программу».
Конечно, не все студенты собираются специализироваться на музыке, так что немногие из них вообще когда-либо услышат звуки, которые обозначают черные кружочки нот.
Тем не менее, чрезвычайно важно, чтобы каждый член общества мог распознать модуляцию или фугу, даже те, кто никогда их не слышал. «По правде говоря, большинство учеников успевают по музыке довольно средне.
Они только и дожидаются звонка с урока, ничего не умеют, домашнее задание пишут, как курица лапой.
Они не думают о том, насколько важна музыка в современном мире, они хотят только окончить школу, пройти самый минимум и получить оценку в аттестат.
Наверное, есть просто способные и неспособные к музыке.
У меня была одна замечательная ученица.
Ее нотные листы были безупречны — каждая нотка на своем месте, каллиграфический почерк, и диезы, и бемоли красиво написаны. Когда-нибудь она станет великим композитором!»


Наш музыкант просыпается в липком холодном поту и понимает, что это был, к счастью, просто сон. «Конечно же! — говорит он вслух сам себе, чтобы успокоиться, — Ни одно общество не дойдет до такого, чтобы свести прекрасное и осмысленное искусство музыки к такой бездумной и тривиальной формальности; ни одна культура не может быть так жестока к детям, чтобы лишить их такого естественного и приятного способа самовыражения.
Какая чушь мне снится!»

Тем временем, на другом конце города от похожего кошмара просыпается художник…

* * *

Я оказался в обычном классе — никаких мольбертов, никаких красок. «Мы не берем в руки красок до десятого класса, — сказали мне ученики, — В седьмом классе мы учим только теорию красок и кистей».
Мне показали тетрадь по рисованию: в ней были закрашенные квадраты разных цветов с пустыми местами рядом с ними.
Задание требовало вписать названия цветов рядом с квадратами. «Мне нравится рисование! — сказал кто-то из них, — Мне говорят, что делать, и я так и делаю.
Это просто!»


После занятий я говорил с учителем.
«Выходит, ученики ничего не рисуют?» — спросил я.
«В старших классах они будут раскрашивать книжки-раскраски5, и на следующий год мы будем подготавливать их к этому.
Там они будут применять знания к жизненным рисовальным ситуациям — знаете, окунать кисти, вытирать их, и всякое такое.
Само собой, мы стараемся уследить за каждым, за его способностями. Лучшие художники, те, кто знает кисти и краски, как свои пять пальцев, дальше идут в классы с углубленным изучением рисования. Но в основном мы пытаемся только дать ученикам базовые знания о рисовании, чтобы они могли выкрасить кухню, не превратив ее в кошмар».

— А эти… э-э-э… старшие классы…

— Ах, с углубленным изучением?
В последнее время все больше детей пытаются в них попасть.
Я думаю, это родители их подталкивают, ведь запись в аттестате об этом классе дает преимущества при поступлении в вуз6.

— Преимущества? А зачем нужно вузу, чтобы студенты умели закрашивать книжки-раскраски указанным цветом?

— А как же! Этим они демонстрируют ясность логического мышления! И, разумеется, если школьник планирует поступать на какой-нибудь дизайнерский факультет, лучше всего получить эти знания еще в школе.

— Понятно… А когда ученики начинают рисовать… ну, так, на чистом холсте?

— Вы говорите, будто вы один из этих старых профессоров! Они все время говорят о самовыражении в искусстве, о чувствах и всякой абстрактной дребедени. Я сама, между прочим, окончила художественный факультет, но мне ни разу не приходилось рисовать целую картину на чистом холсте. А в классе мы используем комплекты раскрасок, что закупает школа.


* * *

Увы, наша система преподавания школьной математики — именно такой кошмар.

На самом деле, если бы мне велели придумать систему для уничтожения врожденного детского любопытства, стремления к поиску системы, я бы не смог сделать эту работу лучше, чем она уже делается: у меня попросту не хватило бы воображения дойти до этих бессмысленных и бездушных методик современного школьного математического образования.

При этом многие понимают, что что-то не в порядке. Политики говорят: «Нам нужны более высокие стандарты». Школы говорят: «Нам нужно больше денег и оборудования». Каждый говорит свое, но все они неправы. Но тех единственных, кто понимает, что происходит, не только не слушают, но и чаще других обвиняют во всем происходящем. Я говорю о детях. Они говорят: «Уроки математики скучные и глупые». И они правы.


Математика и культура

Первое, что нам следует понять — то, что математика есть искусство. Различие между математикой и другими искусствами, такими, как музыка или рисование, состоит в том, что наша культура не признает ее искусством. Все понимают, что поэты и музыканты создают произведения искусства, выражая себя в слове, картине и звуке. Наше общество, можно сказать, щедро на признание искусством области творчества: архитекторы, шеф-повара и даже телеведущие признаются людьми искусства. Так почему же не математики?

Часть проблемы в том, что ни у кого в обществе нет даже приблизительного понятия о том, что же делают математики. Общее понимание, похоже, таково, будто математика как-то связана с естественными науками7: математики помогают ученым своими формулами, или вычисляют огромные числа на компьютерах для той или иной научной задачи. Без сомнения, если бы потребовалось поделить мир на «поэтических мечтателей» и «рациональных мыслителей», большинство людей определило бы математиков в последнюю категорию.

Тем не менее, нет ничего на свете столь же мечтательного и поэтичного, столь же радикального, взрывного и психоделичного, как математика. Она настолько же умопомрачительна, как физика или космология (в конце концов, математики мыслили о черных дырах задолго до того, как астрономы открыли их), и гораздо свободнее в выразительных средствах, чем поэзия, живопись или музыка (ибо они зависимы от свойств материальной Вселенной). Математика — чистейшее из искусств, и самое непонятое из них.

Позвольте мне объяснить, что такое математика и чем занимаются математики. Я не найду лучшего описания, чем то, что дает Г. Г. Харди8:

Цитата:
Математик, как и художник и поэт, создает узоры. И если его узоры долговечнее, то это потому что они сотканы из идей.


Значит, математики сидят и ткут узоры из идей. Какие узоры? Из каких идей? Идеи о носорогах? Нет, оставим их биологам. Идеи о культуре и языке? Обычно нет. Эти вещи слишком сложны на вкус математика. Если мы должны найти объединяющий эстетический принцип математики, то он будет таков: простое — прекрасно. Математикам нравится думать о простых вещах, и самые простые вещи — воображаемые.

Например, когда я в настроении подумать о геометрических формах — а я часто оказываюсь в таком настроении — я могу представить себе треугольник, вписанный в прямоугольник:



Я думаю о том, какую часть прямоугольника занимает треугольник. Примерно две трети, похоже? Тут важно понимать, что я думаю не о рисунке треугольника в прямоугольнике. И я говорю не о треугольнике-части фермы моста. В этом нет скрытой практической цели. Я играю. Это и есть математика: интерес, игра, развлечение собственным воображением. С одной стороны, вопрос о том, какую часть прямоугольника занимает треугольник, попросту не имеет смысла для реальных объектов! Даже самый тщательно изготовленный треугольник есть лишь безнадежно сложное сооружение из подрагивающих атомов, и его размер меняется каждую малую долю секунды — если мы не говорим о неких приближенных измерениях. Это не просто, и, следовательно, это некрасивый вопрос, зависящий от множества деталей реального мира. В этом проявляется эстетика математики. Мы оставим этот вопрос ученым. Математический вопрос задается о воображаемом треугольнике, вписанном в воображаемый прямоугольник. Его стороны совершенны, потому что я так хочу — или потому что мне нравится думать о таких объектах. Это лейтмотив математики: ее объекты таковы, каковыми вы их представите. Ваш выбор безграничен; реальность не встает на вашем пути.

С другой стороны, как только вы сделали выбор (например, я могу сделать мой треугольник симметричным или нет), ваши создания ведут себя определенным образом, хотите вы того или нет. Удивительнейшее свойство воображаемых узоров: они вам отвечают! Треугольник занимает определенную часть прямоугольника, и не в моих силах изменить эту часть. Это число, может быть, оно равно двум третьим, может быть, нет, но главное, что я не могу просто так решить, каким оно будет. Я должен его найти.

Так, мы начинаем играть, и строим воображаемые узоры, и задаем вопросы об этих узорах. Но как мы находим ответы на эти вопросы? Совсем не так, как в естественных науках. Нет такого эксперимента в лаборатории с пробирками или на какой-нибудь специальной технике, чтобы исследовать мой вымысел. Единственный способ узнать правду о воображаемых объектах — это напрячь воображение, и это непростая работа.

В случае с нашим треугольником в прямоугольнике, я вижу кое-что простое и красивое:



Если я разрежу прямоугольник на две части по пунктирной линии, сразу видно, что стороны треугольника рассекают каждую из частей ровно надвое. Значит, вне треугольника такая же часть прямоугольника, что и внутри, и, следовательно, площадь треугольника в точности равна половине площади прямоугольника!

Вот так выглядит и ощущается математика. Это маленькое описание — пример искусства математика: он задает простые и элегантные вопросы о воображаемых объектах, а затем придумывает правильные и красивые объяснения. Ничего подобного этому царству чистой идеи нет; это очаровательно, занимательно и бесплатно!

Понятно, но откуда взялась моя идея? Как я догадался провести линию? Как живописец знает, где приложить кисть? Вдохновение, опыт, пробы и ошибки и слепая удача. В этом и состоит искусство — создавать эти прекрасные поэмы мысли, эти сонеты чистого разума. В этом виде искусства есть что-то чудесно преобразующее нас. Отношение между треугольником и прямоугольником было загадкой, и одна маленькая линия сделала разгадку очевидной. Я не мог ее увидеть, и вдруг неожиданно увидел. Каким-то образом я создал глубокую и простую красоту из ничего, и изменил этим себя — разве не это мы называем искусством?

Вот почему мне так горько видеть, во что превращают математику в школе. Очаровательная, плодотворная игра воображения выхолащивается до стерильного набора зазубриваемых фактов и способов решения. Вместо простого и естественного вопроса о геометрических формах и творческого и полезного процесса изобретения и открытия ученикам дают вот это:



«Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту». От учеников требуется запомнить формулу и «применять» ее раз за разом в «упражнениях». Уходит и радость, и дрожь нетерпения, и труд, и даже горечь творческого акта. Ведь это даже более не задача. Вопрос был задан вместе с ответом, и ученику ничего не осталось делать.

Мне следует здесь явно объяснить, против чего я возражаю. Я не против ни формул, ни запоминания интересных фактов. Это замечательно в контексте, и, как и заучивание слов при изучении языка, позволит вам создавать более глубокие произведения, полные тонких нюансов. Но сам по себе факт, что треугольник занимает половину описанного прямоугольника, не важен! Важна идея рассечь его прямой линией, и то, как она вдохновляет на поиск других прекрасных идей и ведет к творческим прорывам при решении других задач — то, чего не дает вам простое утверждение факта.

Удаляя творческий процесс и оставляя лишь результат этого процесса, вы почти наверняка гарантируете, что никто не будет на самом деле заниматься предметом. Это все равно, что сказать, что Микеланджело создал чудесные скульптуры, при этом ни разу не показав их. Можно ли вдохновиться этим? (На самом деле, все гораздо хуже — по крайней мере, в последнем случае я бы знал, что эти произведения искусства существуют, но мне их попросту не показывают.)

Когда концентрируются на что, но игнорируют почему, от математики остается одна пустая оболочка, видимость. Искусство — не в истине, а в объяснении, аргументации. Объяснение дает истине контекст, определяет, о чем на самом деле говорится и что имеется в виду. Математика есть искусство объяснения. Если вы не дадите ученикам возможности заняться объяснением — формулировать свои собственные задачи, предлагать свои гипотезы, делать свои открытия, ошибаться, терпеть творческие неудачи, вдохновляться и складывать свои собственные, пусть и неуклюжие, объяснения и доказательства, — вы лишите их самой математики. Я не возражаю против формул и фактов. Я жалуюсь на отсутствие математики на наших уроках математики.

Если учитель рисования скажет вам, что живопись — это закрашивание пронумерованных областей на шаблоне, вы сразу почувствуете подвох. Сама культура скажет вам об этом — ведь существуют музеи и картинные галереи, и вы видите предметы искусства даже дома. Живопись хорошо понимается обществом как средство человеческого самовыражения. Подобно тому, если учитель астрономии скажет, что астрономия занимается предсказанием судьбы по дате рождения, вы сразу поймете, что он спятил, ведь наука до такой степени проникла в культуру, что почти каждый знает об атомах и галактиках и законах природы. Но если учитель математики даст вам понять, что математика занимается формулами, определениями и способами вычисления, которые надо запомнить, кто или что скажет вам правду?

Культурная проблема эта — чудовище, раскармливающее само себя: ученики узнают о математике от учителей, а учителя — от своих учителей, и непонимание и неприятие математики нашей культурой поддерживается бесконечно. Хуже того, бесконечная поддержка этой псевдоматематики с упором на точную, но неосмысленную манипуляцию с символами, создает свою культуру со своими ценностями. Адепты ее получают громадную самооценку от своих успехов. Меньше всего они хотят слышать о том, что математика в первую очередь — чистые творчество и эстетика. Многие выпускники университетов, которым десяток лет говорили, что у них талант к математике, с ужасом осознают, что к настоящей математике у них нет никакого таланта, и что на самом деле их талант следовать указаниям, и только. А математика — это не следование указателям, это расстановка указателей.

И ведь я даже еще не упоминал отсутствия математической критики в школе! Школьники так и не узнают ни о том, что математика, как и любая литература, создается людьми для забавы, игры ума, ни о том, что математические труды необходимо критиковать, ни того, что человек должен выработать математический вкус. Математический дискурс подобен поэме, и нам следует спрашивать, удовлетворяет ли он нашим эстетическим критериям: тверда ли его аргументация? есть ли в нем смысл? прост ли он и элегантен? позволяет ли он добраться до сути дела? Конечно же, в школе вы не найдете такого критицизма.

Почему мы не хотим, чтобы наши дети научились математике? Может быть, мы не доверяем им, или думаем, что это слишком сложно? Как будто мы чувствуем, что они могут прийти к собственному мнению о Наполеоне, но не о треугольниках. Я думаю, что причина в том, что мы, как культура, не знаем, что такое математика. Впечатление, которое мы получаем — будто это что-то такое холодное и сугубо техническое, чего, наверное, никто толком и не понимает: и ведь это выходит пророчество, исполняющее само себя, если такое вообще возможно.

Было бы полбеды, если бы наша культура была просто математически необразованной, а беда наша в том, что люди думают, будто они знают, что такое математика, и находится под совершенно неверным впечатлением, будто математика чем-то практически полезна обществу. В этом уже видна огромная разница между восприятием математики и прочих искусств: математика рассматривается обществом, как некий инструмент решения естественнонаучных и технических задач. Каждый знает, что музыка и поэзия нужны для услады души и облагораживания духа (поэтому они едва присутствуют в школьной программе), но математика — о нет! — математика «важна».


* * *

Примечание 9. Диалоги Локхарта ведут два философа из знаменитого труда Галилео Галилея «Диалог о двух главнейших системах мира» (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo) Сальвиати — прогрессивный философ, излагающий гелиоцентрическую систему мира и пытающийся убедить ретрограда Симплицио. Издание «Диалога» в пер. А.И.Долгова (М., Ленинград : ОГИЗ — СССР, 1948) имеется в Сети.


Симплицио9. Ты утверждаешь, что математика не имеет практического приложения в обществе?

Сальвиати. Конечно же нет! Просто обращаю внимание, что из того, что некий предмет приводит к практическим последствиям, не следует, будто он предназначен для этого. Музыка ведет армии в бой, но люди сочиняют симфонии не для того. Микеланджело расписывал потолок, но в мыслях у него было кое-что и повыше.



Симплицио. Ведь нужно учить людей этим практическим результатам. Разве не нужны нам счетоводы, плотники и так далее?

Сальвиати. Много ли людей пользуются этой самой «практической» математикой, что они изучили в школе? Ты думаешь, будто плотникам нужна тригонометрия? Много ли ты знаешь взрослых, что умеют делить дроби или решать квадратные уравнения? Очевидно, что нынешнее практическое обучение не работает, и понятно почему: оно невыносимо скучно, и никому не требуется на практике. Так почему же люди думают, будто оно важно? Я не вижу, что пользы в том, что граждане носят в головах бледные воспоминания об алгебраических формулах и геометрических чертежах, и ясные воспоминания о том, как это все противно! С другой стороны, было бы куда полезнее показать им нечто прекрасное, дать им возможность стать творческими, гибкими умом мыслителями без предрассудков, — такими, какими их бы сделало настоящее математическое образование.



Симплицио. Но ведь люди же должны уметь деньги считать!

Сальвиати. Для этого калькуляторы есть. Почему бы ими не пользоваться? Куда как легче и вернее. Мой аргумент не только в том, что сегодняшняя система так ужасно плоха, но и в том, что она упускает нечто воистину чудесное! Математику следует преподавать как искусство во имя искусства, а «приземленные» полезные аспекты тривиально воспоследуют сами собою. Бетховен без труда бы написал песенку для рекламного ролика, но музыке ведь он учился, чтобы создавать прекрасные произведения!



Симплицио. Не каждый урожден художником. Как тогда быть с детьми, которые попросту «не математики»? Как они укладываются в твою схему?

Сальвиати. Если бы каждый был предоставлен математике в ее естественной форме, со всеми ее трудными радостями и удивлением познания, что она влечет за собою, думаю, мы бы были свидетелями драматического изменения отношения детей к математике, а взрослых — к тому, что означает быть «сильным по математике». Мы теряем столь многих несостоявшихся одаренных математиков — творцов, умниц, которые совершенно справедливо отвергают то, что видится им бессмысленным и выхолощенным предметом. Они попросту слишком умны, чтобы тратить время на такую чушь!



Симплицио. А тебе не кажется, что, будь уроки математики устроены подобно урокам рисования, так многие дети тогда бы вообще ничему не научились?

Сальвиати. Так они же ничему и не учатся! Лучше бы уж никаких уроков математики не было, чем такие! Пусть хоть кто-нибудь тогда смог бы открыть ее красоту для себя сам.



Симплицио. Так ты хочешь убрать математику из школьной программы?

Сальвиати. Ее давно убрали! Вопрос уже стоит о том, что делать с оставшейся от нее пустой засохшей шкуркой. Разумеется, я бы предпочел заменить ее исполненным радости, деятельным знакомством с математическими идеями.



Симплицио. Да много ли учителей знают свой предмет достаточно, чтоб так его преподавать?

Сальвиати. Мало, очень мало. И это лишь верхушка айсберга…


Математика в школе



Нет вернее способа убить энтузиазм детей и их интерес к предмету, чем включив его в обязательную часть школьной программы10. Включите его в ЕГЭ, и вы наверняка увидите, как образовательная бюрократия высосет все его жизненные соки. В отделах образования не понимают, что такое математика — как не понимают этого ни директора школ, ни авторы учебников, ни их издатели, ни — печальнее всего — учителя. Проблема столь велика, что я едва понимаю, с какого конца начать ее излагать.

Начнем с поражения множества реформ математического образования. Уже долгие годы все большее внимание уделяется разладу в системе математического образования. Оплачиваются исследования, собираются конференции, формируются бессчетные комитеты учителей, авторов и издателей учебников, чтобы «исправить ситуацию». Не упустив ни капли собственной издательской выгоды (на любые флуктуации политики обучения они отвечают предложением новых редакций своих нечитабельных уродищ), все эти реформаторы упустили главное: математическая программа должна быть не исправлена — она должна быть выброшена вон.

Вся эта болтовня и показуха касательно того, какие «пункты программы» и в каком порядке следует учить, использовать эту нотацию вместо той нотации, какой модели калькулятор, Господи прости, нужен школьнику, — все это напоминает перестановку стульев на палубе тонущего «Титаника». Математика есть музыка разума. Заниматься математикой — значит совершать открытия и строить предположения; жить вдохновением и интуицией; значит оказываться в отчаянии — не потому, что предмет не имеет смысла, а потому, что вы придали ему смысл и все еще не понимаете, как ведет себя ваше создание; значит испытать и прорыв фонтана идей, и поражение художника; и в ужасе неметь от почти что физически невыносимого, переполняющего вас чувства прекрасного; да значит быть живым, черт побери! Уберите это из математики, и можете собирать сколько угодно умных конференций, и это ничего не изменит. Оперируйте, сколько хотите, дорогие доктора: пациент уже мертв.

Наипечальнейшая часть этих реформ — попытки «сделать математику интересной» и «важной в жизни детей». Вам не надо делать математику интересной — она уже более интересна, чем вы сможете вынести! И торжество ее в неважности для жизни — вот почему она так занимательна.

Попытки изобразить математику полезной и нужной для ежедневных дел всегда натужны и убоги: «Видите, дети, как просто, когда знаешь алгебру, высчитать, сколько Марии лет, если ей на два года больше, чем дважды ее возраст семь лет назад!» — как будто кто-то в жизни получит эту безумную информацию вместо настоящего возраста. Алгебра — не инструмент для жизни, это искусство симметрии и чисел, и потому достойно постижения само по себе.

Даны сумма и разность двух чисел. Каковы сами числа?

Вот простой, элегантный вопрос, и не надо лезть из кожи вон, чтобы придать ему привлекательности. Древние вавилоняне любили решать такие задачи, и наши ученики их тоже любят. (Да и вам, надеюсь, понравится!) Нам не надо заворачиваться в тройные узлы, чтобы придать математике важность для ежедневных дел. Ее важность, как и важность искусства вообще — в осмыслении человеческого опыта.

Или, может быть, вы думаете, что дети хотят чего-то, относящегося к их ежедневным делам? Может быть, их восхищает что-то практическое, например, сложный процент по кредиту? Людей восхищает фантазия, и это именно то, что математика может дать — убежище от ежедневного, волшебный бальзам от практических забот.

Другая проблема — когда авторы учебников начинают «сюсюкать», чтобы сделать математику «дружественной» и победить «страх перед математикой» (одна из множества болезней, на самом деле вызываемых школой). Чтобы ученики могли запомнить формулы, вы можете придумать целую историю о том, как Иван Демьянович едет на машине вокруг Елизаветы Макаровны и говорит ей, как хороши были ее два пирога (L=2πR), или что ее пироги квадратные (S=πR²), или еще какую-нибудь глупость. А как же настоящий рассказ о проблеме измерения кривых, о Евдоксе11 и Архимеде и методе неделимых, о трансцендентности числа π? Что интереснее — измерять приблизительный размер кружка по клеточкам, а потом вычислять длину окружности по формуле, которую вам дали без объяснения, или услышать историю одной из самых прекрасных, захватывающих задач, и самых ярких и сильных идей всей человеческой истории? Мы убиваем в детях интерес к кругам, в конце концов!

Почему мы не даем ученикам услышать об этом, не то чтобы дать им возможность самим позаниматься математикой, прийти к собственным идеям и мнениям? Какой еще предмет изучают, даже не упоминая его истории, философии, основоположения, эстетических критериев и текущего положения вещей? Какой еще предмет отбрасывает первоисточники — чудесных произведений искусства, выполненных самыми творческими умами истории — в пользу убогих третьесортных учебников?

Главная проблема школьной математики в том, что в ней нет задач. Да, я знаю, что выдается за задачи на уроках: эти безвкусные, скучные упражнения. «Вот задача. Вот как ее решить. Да, такие бывают на экзамене. На дом задачи 1—15». Что за тоскливый способ изучать математику: стать дрессированным шимпанзе.

Но задача — настоящий, честный до мозга костей естественный человеческий вопрос — это нечто другое. Какова длина диагонали куба? Закончатся ли простые числа? Бесконечность — число или нет? Сколькими способами можно симметрично покрыть поверхность плитками? История математики — это история решения этих вопросов, не бессмысленного пережевывания формул и алгоритмов, вместе с натянутыми упражнениями, чтобы их применять.

Хорошая задача — такая, решения которой вы не знаете. Вот где загадка, вот что дает настоящие возможности! Хорошая задача не стоит в отдельности, но служит стартовой площадкой для других интересных задач. Треугольник занимает половину описанного прямоугольника. А как насчет пирамиды в кубе? Можно ли эту задачу решить тем же способом?

Я принимаю идею обучения школьников технике решения, и я сам это делаю. Но это не цель. Техника в математике, как и в любом искусстве, должна изучаться в контексте. Великие задачи, их история, творческий процесс — вот этот контекст. Дайте ученикам хорошую задачу, пусть они поломают головы, пусть у них не получится ее решить. Посмотрите, что у них выйдет. Дождитесь до того момента, когда они страстно захотят свежую идею. Тогда научите их какой-то технике, только немного.

Отложите в сторону планы уроков и диапроекторы, мерзкие красочные учебники, компакт-диски и весь остальной парад уродов бродячего цирка, и займитесь с учениками математикой! Учителя живописи не тратят время на чтение учебников и зазубривание техники — они просто дают детям рисовать. Они ходят от мольберта к мольберту и подсказывают, направляют:

— Я думала о задаче с треугольником, и кое-что заметила. Смотрите, если треугольник наклонный, то он не занимает половины прямоугольника!



— Превосходное наблюдение! Наше рассуждение с рассечением треугольника было в предположении, что вершина находится над основанием. Теперь нам нужна новая идея.

— Попытаться рассечь его как-то иначе?

— Конечно. Перепробуй всевозможные идеи. Дай мне знать, что у тебя выйдет!

* * *

Как же нам учить детей математике? Выбирая занимательные и естественные задачи, в соответствии с их вкусами, интересами и опытом. Давая им время делать открытия и строить гипотезы. Помогая им выстраивать доказательства и создавая атмосферу здорового и живого математического критицизма. Улавливая, куда меняется их интерес. В общем, выстраивая честные и открытые интеллектуальные отношения с учениками. Это требует слишком большой ответственности и слишком большой открытости — короче, это слишком много работы!

Гораздо проще быть пассивным передатчиком готовых школьных «материалов» и следовать инструкции, как на бутылке шампуня — «лекция, экзамен, повторить» — чем глубоко мыслить о собственном предмете и передавать этот смысл честно и наилучшим образом своим ученикам. Нас просто уговаривают забросить сложную задачу принятия решений своим умом и совестью, и вместо этого «проходить программу». Это попросту путь наименьшего сопротивления:

Авторы учебников имеют такое же отношение к учителям, как:
а) фармацевтические компании к докторам;
б) компании звукозаписи к диск-жокеям;
в) корпорации к депутатам;
г) все вышеперечисленное.


Труд математики, как и живописи и поэзии, состоит в тяжелой творческой работе. Поэтому математику очень сложно преподавать. Математика — медленный созерцательный процесс. Изготовить произведение искусства занимает время, а, чтобы распознать его, нужен искусный учитель. Разумеется, легче вывесить список правил, чем вести за собой будущих художников, как легче написать инструкцию к телевизору, чем книгу с изложением своей точки зрения.

Математика — искусство, а искусство должно преподаваться действующими мастерами или по крайней мере педагогами, любящими искусство и способными его распознать. Не обязательно учиться музыке у профессионального композитора, но отдадите ли вы ребенка в обучение кому-то, кто не умеет играть сам и не слышал ни одного музыкального произведения за всю жизнь? Возьмете ли вы учителем рисования того, кто не держал в руке карандаша и никогда не был в музее? Как же тогда мы допускаем в учителя математики того, кто не создал ни одного математического произведения, не знает ни истории, ни философии предмета, ни последних достижений математики, ничего, в конце концов, из того, что он должен преподавать своим несчастным ученикам? Что же это за учитель? Как они могут учить то, чего сами не знают? Я не умею танцевать, но мне и в голову не придет, будто я могу вести танцевальный класс (хоть я мог бы и попробовать, но это выглядело бы ужасно). Разница в том, что я знаю, что я не умею танцевать. Мне никто не скажет, что я хорошо танцую, даже если я знаю кучу танцевальных терминов.

Я не пытаюсь даже сказать, что учителя математики должны быть профессиональными математиками — нет, я и не подхожу к этому. Но не должны ли они хотя бы понимать, что такое математика, знать ее, и любить?

Если учеба превращается в простую передачу информации, если в ней нет делимого с учеником восхищения и чуда, если учителя суть пассивные получатели информации, а не творцы новых идей — есть ли тогда надежда у наших школьников? Если сложение дробей для учителя является случайным набором правил, а не результатом творчества или результатом эстетически обоснованного выбора, тогда несомненно надежды у бедных учеников и быть не может.

Преподавание это не передача информации. Преподавание — это честные интеллектуальные отношения с учениками. Для этого не нужны ни методы, ни пособия , ни специальная подготовка. Для этого нужно только быть самим собой. Если вы не можете быть собой, то у вас нет никакого права причинять себя ни в чем неповинным детям.

В частности, вы не можете учить учить. Педагогические курсы — полная бессмыслица. Да, вы можете пройти курсы по раннему детскому развитию и еще чему-нибудь, обучиться «использовать доску эффективно», готовить организованный «план урока» (что, кстати, обеспечивает вашему уроку плановость, следовательно, лживость), но вы никогда не станете учителем, если не будете настоящим человеком. Преподавание — это открытость и честность, желание делиться радостью знания, любовь к учению. Без этого все педагогические дипломы мира не помогут вам — они совершенно бесполезны.

Это так просто. Ученики не пришельцы с Альфы Центавра. Они понимают прекрасное, они видят узор, они от природы любопытны, как и все мы. Просто расскажите им! И — еще важнее — слушайте их!


Продолжение в следующем посте.
_________________
новый http://9e-maya.com/index.php?action=forum
резерв http://9e-maya.org/forum/index.php
http://www.igstab.net./


Последний раз редактировалось: us998 (Пн Май 10, 2010 1:35 pm), всего редактировалось 3 раз(а)
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Пн Май 10, 2010 12:54 pm    Заголовок сообщения: Что такое математика. Ответить с цитатой

Пол Локхард
http://www.mathforum.ru/forum/read/1/23135/
http://www.nbspace.ru/math/

Плач математика
Окончание.

Цитата:
* * *

Симплицио. Ну ладно, мне ясно, что в математике есть элемент искусства и что мы могли бы лучше это объяснять. Но ведь это, наверное, слишком заумная штука, чтобы ожидать ее от школы? Мы же не философов там учим, нам же надо, чтобы они арифметику знали до той степени, чтобы нормально вписаться в общество.

Сальвиати. Это не так! Школьная математика занимается множеством вещей, не связанных с возможностью вписаться в общество — например, алгеброй и тригонометрией. Эти дисциплины совершенно бесполезны для ежедневных дел. Я просто предлагаю вот что: раз мы включаем эти вещи в план среднего образования, так уж делать это органично и естественно. К тому же, как я уже говорил, то, что из предмета можно получить практическую пользу, еще не говорит о том, чтобы на этой пользе обучение фокусировать. Конечно, следует научиться читать, чтобы заполнить бланк на почте, но ведь мы не для этого детей учим чтению. Мы учим их чтению для высшей цели — дать им доступ к прекрасным и значительным идеям. Не только было бы бесполезно учить третьеклассников писать, давая им заполнять бланки налоговых деклараций — это бы и не работало! Мы учимся, потому что нам интересно то, чему мы учимся, здесь и сейчас, не потому, что это будет полезно в дальнейшем. А ведь с математикой мы именно так и поступаем.



Симплицио. Но разве третьеклассники не должны знать арифметики?

Сальвиати. Зачем? Ты хочешь научить их складывать 427 и 389? Это не из тех вопросов, что спрашивают восьмилетки. Да не все взрослые полностью понимают десятичную позиционную арифметику, а ты хочешь, чтобы у третьеклассников была полная ясность? Или тебе все равно, поймут они это или нет? Слишком рано это для такого механического обучения. Конечно, их можно научить, но, думаю, от этого вреда выйдет больше, чем пользы. Лучше дождаться, пока у них не появится естественный интерес к числам.



Симплицио. Так чем же дети должны заниматься на уроках математики?

Сальвиати. Играть! Научите их играть в шахматы и го, гекс и нарды, «ростки» и ним12, да чему угодно — выдумайте игру! Отгадывайте загадки. Создавайте для них ситуации, где необходимо дедуктивное мышление. Не думайте о нотации и технике, а помогайте их активному и творческому математическому мышлению.



Симплицио. Похоже, мы возьмем этим на себя слишком большой риск. Что же, нам не учить школьников арифметике — ведь они не будут уметь складывать и вычитать!

Сальвиати. Полагаю, что мы куда больше рискуем создать школу, лишенную творческого выражения, где функции ученика будут запоминать даты, формулы и списки слов, а затем выплевывать их на стандартных экзаменах, готовясь стать «строителем светлого будущего».



Симплицио. Но послушай, ведь должен быть какой-то минимум математических фактов, которые должен знать любой образованный человек!

Сальвиати. Да, и самый главный из этих фактов — то, что математикой люди занимаются для собственного удовольствия! Согласен, неплохо знать некоторые основные факты о числах и геометрических фигурах. Но это не придет от зубрежки, повторений, лекций и упражнений. Ты можешь конечно, заучить их. Мы видим миллионы взрослых людей, повторяющих «минус b плюс-минус корень из b в квадрате минус 4ac, деленное на 2a», и все это без малейшего понятия, что это значит. А причина в том, что им так и не дали возможности открыть или изобрести что-то самим. Они никогда не решали увлекательной задачи, не бились над ней, не искали способ решения. Им никто не рассказал об истории отношений человека и чисел — ни о вавилонских табличках с задачами, ни о папирусе Ахмеса, ни о Liber abaci, ни об Ars magna13. И — самое главное — у них не было возможности задаться вопросом, ибо на все их вопросы были даны ответы еще до того, как они их могли задать.



Симплицио. Но у нас нет столько времени, чтобы каждый ученик изобрел себе математику! У человечества ушли века на теорему Пифагора — как же ты хочешь, чтобы обычный школьник ее сам открыл?

Сальвиати. Я этого не хочу. Позволь мне ясно сказать: я сожалею о полном отсутствии в математической программе искусства и открытия, истории и философии, контекста и перспективы. Я не хочу сказать, что нотация, техника и накопление знаний не нужны. Нужны, конечно. У нас должно быть и то, и это. Если я возражаю против того, что маятник слишком далеко отклонился в одну сторону, это не значит, что я за то, чтобы он отклонился до конца в другую. Люди на самом деле лучше учатся, когда результат получается из процесса. Настоящая любовь к стихам приходит не от запоминания сотен поэм, а от написания собственных стихов.



Симплицио. Да, но прежде, чем писать стихи, ты должен выучить алфавит! Должно же все с чего-то начинаться. Сначала учатся ходить, потом — бегать.

Сальвиати. Да нет же, сначала тебе нужно знать, куда бежать. Дети учатся писать стихи и рассказы и одновременно письму и чтению. Рассказ шестилетнего — это чудесно, и орфографические и стилистические ошибки нисколько не умаляют этого чуда. Даже самые маленькие дети сочиняют песенки, хотя и не знают, в каком они размере и в какой тональности.



Симплицио. Но разве математика не отличается от музыки? Разве математика — не система символов, язык сам по себе, который надо выучить прежде, чем говорить на нем?

Сальвиати. Нет, это совершенно не так. Математика — не язык, а приключение. Разве музыканты «говорят на другом языке», сокращая свои идеи до маленьких черных нот? Если бы и так — это все равно не мешает карапузу и его песенке. Да, определенная система математической записи образовалась за века, но она не является самоважной. Математика частенько делается с друзьями за чашкой кофе на салфетках. Математика — это идеи, а идеи превосходят символы, которыми они записываются. Гаусс однажды заметил: «Нам нужны идеи, а не идиомы!»



Симплицио. Но разве не верно сказать, что одна из целей математического образования научить школьников думать логически точно, выработать «навыки математического мышления», как пишут в программе? Разве формулы и правила не оттачивают ума учеников?

Сальвиати. Нет, не «оттачивают». Если хочешь, система дает прямо противоположный эффект: она отупляет. Острота ума причиняется решением задач, а не заучиванием того, как это следует делать.



Симплицио. Ладно, согласен. А как быть с учениками, что идут в науку и в инженеры? Разве им не нужно обучение по стандартной программе? Не для того ли мы преподаем математику в школе?

Сальвиати. Много ли учеников станут писателями после уроков литературы? Мы учим литературе не для этого. Мы учим, чтобы просвещать, а не давать профтехобразование! Ведь самое важное умение и ученого, и инженера — умение мыслить творчески и независимо. А кому нужна эта дрессировка?!


Математическая программа

Состояние преподавания математике в школе так печально не только и не столько тем, что важное отсутствует — что на уроках математики не происходит математики, — но тем, что там присутствует: мешанина деструктивной дезинформации, называемая «программой». Давайте посмотрим, что противостоит нашим ученикам во имя математики, и какой это им наносит ущерб.

Самое удивительное в этой программе — это ее негибкость. Это особенно заметно по программе старших классов. От школы к школе, от города к городу, от штата к штату повторяются одни и те темы, о них рассказывается одинаково и в одном и том же порядке. Вместо того, чтобы возмутиться этим Оруэлловским положением вещей, большинство людей просто принимают эту «стандартную программу» за самое математику.

Это тесно связано с тем, что я называю «мифом о лестнице» — идеей о том, что математику можно выстроить в последовательность «предметов», каждый из которых более «высокий», поднимающуюся до «высшей математики». Эта идея порождает гонку: некоторые ученики впереди, чьи-то родители переживают, что их ребенок «отстающий». И где финишная черта этой гонки, что ждет на ней? Печально, но гонка эта в никуда. В конце — вас обманут на ровно одно математическое образование, да еще так, что вы этого не заметите.

Настоящая математика не выпускается в консервах — в математике нет такой идеи, как алгебра за 9-й класс. Задачи ведут вас, куда ведут. Искусство — не гонка. Миф о лестнице это искаженный образ предмета математики, а учитель, следующий стандартной программе, лишь закрепляет этот миф, вместо того, чтобы показывать математику как нечто цельное. А в результате у нас получается математическая программа без исторической перспективы и тематической цельности, фрагментарный набор разнообразных тем и приемов, выстроенных в порядке легкости, с которой их можно свести к пошаговым инструкциям.

Вместо открытия и исследования у нас получаются правила и инструкции. Мы никогда не слышим, чтобы ученик говорил: «Мне захотелось узнать, есть ли смысл в возведении числа в отрицательную степень, и я обнаружил, что получится вполне осмысленно, если представить ее в виде обратного числа». Вместо того, учитель и учебники дают «правило отрицательной степени» как fait d’accompli без упоминания эстетики этого выбора или хотя бы того, что выбор был.

Вместо осмысленных задач, какие могли бы привести через неисследованную территорию обсуждения и спора к синтезу разнообразных идей, к чувству тематического единства и гармонии в математике, мы имеем столь безрадостные повторяющиеся упражнения на определенную технику, разъединенные друг с другом и отсоединенные от математики как целого, что ни у учителей, ни у учеников не возникает даже тени идеи, как такие вещи могли вообще сложиться.

Вместо естественного контекста задачи, где ученики могли бы сами выбрать слова для обозначения сущностей, выдается бесконечная череда немотивированных априорных «определений». Программа навязывает жаргон и классификацию ни для какой более цели, кроме возможности учителям проверять этот же жаргон на экзаменах. Ни один математик в мире не станет противопоставлять «смешанную дробь» 2 ½ «неправильной дроби» 5/2. Да они же равны, ради всего святого! Это одно и то же число, их свойства одинаковы. Да кто хотя бы помнит эти слова после четвертого класса?

Куда легче, конечно, проверять знание бесцельных терминов, чем вдохновлять на создание прекрасного и поиск своего собственного смысла. Даже если мы и согласимся, что базовый математический вокабуляр необходим, — это не он. Пятиклассников учат говорить «ось абсцисс» и «ось ординат» вместо «осей x и y», но не дают им повода сказать такие слова, как «предположение» или «контрпример». Старшеклассников учат писать sec x, секанс, вместо обратной функции 1/cos x — «определению», обладающему такой же интеллектуальной силой, как сокращение «и т. п.». Это сокращение вышло из навигационных таблиц XV в. и по-прежнему остается в ходу (в то время как, например, версинус вышел из употребления) в наше время, когда точные навигационные вычисления более не проблема, по чистой исторической случайности. Так уроки математики забиваются бесполезной терминологией во имя терминологии.

Программа не столько последовательность тем или идей, сколько череда систем нотации. Математика как будто состоит из секретного списка математических символов и правил манипуляции ими. Малышам дают + и ÷. Более взрослым можно уже доверить √, а потом x и y и алхимию скобок. Затем им забивают в головы sin, log и f(x), а потом удостаивают d и ∫. И все это происходит, разумеется, без математически осмысленного опыта.

Эта программа настолько недвижима, что учителя и авторы учебников могут надежно, за многие годы, предсказать, что ученики будут делать, с точностью до номера страницы с упражнениями. Не вызывает удивления, когда в 9 классе задают вычисление [f(x + h) − f(x)] / h для различных функций f, так чтобы они «уже видели» это выражение, когда у них будут начала анализа три года спустя. Естественно, не дается (да и не ожидается) никакой мотивации пониманию, что означает эта на первый взгляд случайная комбинация операторов. Учителя, пытающиеся объяснить, что это означает, и — уверен! — полагающие, что оказывают школьникам услугу, на самом деле просто дают им еще одно скучное упражнение. «Чего от меня хотят? А, и это до кучи? Угу».

Еще один пример — когда школьников учат выражать информацию в неоправданно сложной и неестественной форме просто потому, что когда-то, в далеком будущем, это будет иметь смысл. Задумывается ли хоть на секунду учитель 6-го класса, заставляя учеников записать утверждение «x находится в интервале от 3 до 7» в виде |x – 5| < 2, зачем он это делает? Авторы бестолковых учебников серьезно полагают, что этим помогают ученикам подготовиться ко дню «Ч», когда много лет спустя они начнут изучать аналитическую геометрию или абстрактные метрические пространства? Сомневаюсь. Думаю, что просто копируя друг друга десятилетиями, меняя, самое большее, шрифт или цвет под выделенным текстом, они лучатся гордостью оттого, что школьная система приняла их новый учебник, и тем самым делаются ее невольными сообщниками.

Математика — это решение задач, и именно решение задач должно быть в центре математической жизни школьника. Как бы ни было тяжело, какие бы ни случались неудачи — ученики и учителя должны быть вместе на этом пути — находя идеи, не находя идей, открывая закономерности, строя предположения, конструируя примеры и контрпримеры, приводя аргументы и критикуя работу друг друга. Определенная техника образуется в процессе этой работы, как это происходило исторически: не в изоляции от решения задач, но в органическом соединении с этим процессом.

Преподаватели родного языка знают, что орфография и пунктуация лучше всего изучаются в процессе чтения и письма. Учителя истории знают, что имена и даты совершенно неинтересны в отрыве от картины исторических событий. Отчего же математическое обучение застряло в XIX в.? Сравните ваши воспоминания об уроке алгебры с этим воспоминанием Бертрана Рассела14:
Меня заставляли учить наизусть: квадрат суммы двух чисел равен сумме их квадратов, увеличенной на их удвоенное произведение. У меня не было ни малейшего представления о том, что бы это могло значить; когда я не мог запомнить этих слов, учитель треснул меня книгой по голове, что, однако, ни капли не стимулировало мой интеллект.

Разве изменилось что-нибудь с тех пор?

* * *

Симплицио. Не думаю, что так будет честно. Конечно, методы обучения изменились!

Сальвиати. Ты имеешь в виду методы тренировки. Учение — непростые человеческие отношения; метода здесь быть не может. Или, давай я так скажу: если тебе нужен метод, значит, ты не очень хороший учитель. Если у тебя нет достаточно «чувства» своего предмета, чтобы говорить о нем своими словами, естественно и спонтанно, значит, ты и сам его не понимаешь. И, говоря о том, что учительство застряло в девятнадцатом веке — тебя не пугает, что программа при этом застряла в семнадцатом? Подумай обо всех тех потрясающих открытиях и глубоких переворотах в человеческой мысли, что произошли за последние три века! Они не упоминаются, словно бы их и не было.



Симплицио. Может, ты просто слишком многого хочешь от учителей математики? Чтобы они оказывали индивидуальное внимание трем десяткам учеников, ведя их по их собственным путям открытий и просвещения, да еще чтобы они следили за последними математическими открытиями?

Сальвиати. А ты хочешь, чтобы учитель рисования мог дать тебе толковый совет по поводу твоей картины, чтобы он знал историю последних трехсот лет живописи? А серьезно — нет, я и не жду этого, просто мечтаю о том, чтобы так было.



Симплицио. Значит, виноваты учителя математики?

Сальвиати. Нет, виновата культура, которая их производит. Они стараются как лучше, но делают так, как их учили. Уверен, многие из них любят учеников, и им не нравится подвергать их тому, что им приходится делать. Они ощущают, что такое преподавание бессмысленно, и только вредит. Они чувствуют, что делаются шестеренками в мясорубке духа. Однако, у них не хватает перспективы, чтобы осознать это, тем более бороться с этим. Они должны «готовить учащихся к переходу в следующий класс».



Симплицио. Ты и вправду думаешь, что все ученики имеют столь высокий уровень, чтобы создавать собственную математику?

Сальвиати. Если мы и в самом деле думаем, что творческое мышление — это слишком «высокий уровень» для наших учеников, зачем тогда мы заставляем их писать работы по истории и литературе? Проблема не в том, что школьники не могут того, что ты говоришь, — проблема в том, что учителя этого не могут! Они никогда не доказывали ничего сами — как же они могут направить на правильный путь ученика? Как бы там ни было, очевидно, что разброс в способностях школьников будет, но, по крайней мере, они смогут любить или ненавидеть математику такой, какая она есть, а не эту кустарную под нее подделку!



Симплицио. Но ведь мы точно хотим, чтобы ученики обладали определенным набором базовых знаний и умений. Вит для чего нужна программа, и вот почему он единообразна: существует некий набор основных фактов, одинаково необходимый всем и во все времена. 1 + 1 = 2, сумма углов треугольника равна 180°. Это не мнения и не художественные оценки.

Сальвиати. Напротив. Математические структуры, и практически полезные, и нет, возникают в контексте задач, и получают смысл только из этого контекста. Иногда мы хотим, чтобы 1 + 1 равнялось нулю — в арифметике по модулю 2. Сумма углов треугольника на сфере больше 180°. Это не факты сами по себе — все здесь относительно. Важна повесть, а не развязка сюжета.



Симплицио. Я уже устал от твоей мистической болтовни! Скажи мне, вот базовая арифметика — ты согласен или не согласен с моим мнением, что ученики должны ее знать?

Сальвиати. Смотря что ты называешь «базовой арифметикой». Если ты называешь ею понимание задач счета и разбиения, преимущества группировки и поименования, различение представления и вещи в мире, историю развития счетных систем — да, я считаю, что школьники должны это изучать. Если же ты называешь ею заучивание арифметических фактов вне базовой системы концепций — нет. Исследование вовсе не очевидного факта, что пять кучек по семь это столько же, сколько семы кучек по пять — да. Заучивание правила, что 5 × 7 = 7 × 5 — нет. Занятие математикой — это всегда открытие закономерностей и создание красивых и осмысленных объяснений.



Симплицио. Ладно, а геометрия? Школьники все время доказывают геометрические теоремы. Разве, по-твоему, уроки геометрии в старших классах — не образец того, какими должны быть уроки математики?


Геометрия в старших классах: инструмент дьявола.

Ничто так не раздражает автора едкого обличения, как предложение самой главной жертвы его яда в качестве аргумента в поддержку его мысли. Нигде волк в овечьей шкуре не вероломен настолько, как на уроке геометрии. Такая попытка школы дать введение в искусство рационального рассуждения опасна сама по себе.

Этот вирус атакует математику в самое сердце, создавая иллюзию, будто именно на уроке геометрии школьники знакомятся с математическим рассуждением, и тем самым разрушает саму суть творческого рационального мышления, отравляя учеников в стремлении к этому занимательному и красивому предмету, навсегда калеча их способность мыслить о математике естественным и интуитивным путем.

Механизм, стоящий за этим, тонок и изощрен. Жертва-ученик сначала оглушается и парализуется потоком бессмысленных определений, положений и значков, а затем медленно и болезненно отлучается от естественного интереса и интуиции о геометрических формах и их закономерностях систематической пропагандой корявого языка и искусственного формата так называемого «формального геометрического доказательства».

Скажем прямо и без метафор: урок геометрии есть наиболее эмоционально и ментально деструктивная компонента всей математической программы, от первого класса и до последнего. Другие математические курсы могут спрятать прекрасную птицу или посадить ее в клетку; но лишь на уроке геометрии ее подвергают бездушным пыткам. (Нет, видимо, я еще не готов говорить без метафор.)

Здесь систематически подрывается интуиция ученика. Доказательство, математическое рассуждение есть произведение искусства, поэма. Его цель — удовлетворить. Красивое доказательство призвано объяснять, и объяснять ясно, глубоко и элегантно. Хорошо написанное, проработанное рассуждение должно чувствоваться холодными брызгами и вести лучом маяка — освежать дух и освещать ум. Оно должно очаровывать.

В том, что сходит за доказательство на уроке геометрии, нет ничего очаровательного. Школьникам дают негибкий, догматический формат, в котором они должны производить так называемые «доказательства» — формат настолько непотребный и неподходящий, как, например, требование от детей, желающих высадить сад цветами, называть их цветы латинскими видом и родом.

Рассмотрим примеры этого безумия.

Начнем с рисунка двух пересекающихся прямых:



На первом шаге рисунок следует замутить излишними обозначениями. Нельзя говорить о двух пересекающихся прямых: им следует дать вычурные обозначения. Не просто «прямая 1» и «прямая 2», или a и b. Мы должны, в соответствии с требованиями школьной геометрии, выбрать произвольные ненужные точки на этих прямых и называть эти прямые в соответствии со специальной «системой обозначения прямых».



Теперь мы будем называть их AB и CD. Боже упаси забыть надчеркивание: запись AB обозначала бы длину отрезка (во всяком случае, как это делается в настоящий момент15). Ничего, что эта система бессмысленно усложнена, просто научитесь ей пользоваться. Теперь начинается собственно доказательство, обычно предваряемое каким-нибудь абсурдным названием, например,

ТЕОРЕМА 2.1.1
Пусть AB и CD пересекаются в точке P.
Тогда ∠APC ≅ ∠BPD16





То есть — что углы одинаковы. Да пересекающиеся прямые симметричны, ради всего святого! И, как будто этого мало, это очевидно верное утверждение должно быть «доказано»:

Доказательство.
Утверждение Объяснение
1. m∠APC + m∠APD = 180
m∠BPD + m∠APD = 180 Постулат о сложении углов.

2. m∠APC + m∠APD = m∠BPD + m∠APD Свойство подстановки

3. m∠APD = m∠APD Рефлексивное свойство равенства

4. m∠APC = m∠BPD Аддитивное свойство равенства

5. ∠APC ≅ ∠APC Постулат об измерении углов




Вместо остроумного и интересного рассуждения, написанного человеческим существом на одном из естественных языков Земли, нам предлагается это гнетущее, бездушное, бюрократическое заполнение бланка. И какого слона удалось раздуть из мухи! Мы что, на самом деле хотим показать, что самоочевидное наблюдение требует такого огромного введения? Честно: вы его прочитали или нет? Нет. Кто станет это читать?

Такой вывод столь элементарного утверждения заставляет людей сомневаться в собственной интуиции. Подвергая сомнению очевидное, настаивая на том, чтобы оно было «строго доказано» (как будто вышеприведенное доказательство строгое!), ученику как бы говорят:
«Твоя интуиция и твои идеи сомнительны. Ты должен говорить и думать по-нашему».

В математике, без сомнения, есть место формальному доказательству. Но место ему не в первом введении ученика в предмет математического рассуждения. Позвольте ему сперва ознакомиться с некоторыми математическими объектами, понять, чего от них можно ожидать, перед тем, как вы начнете все формализовать. Строгое формальное доказательство необходимо только в кризисной ситуации, когда ваши воображаемые объекты начинают вести себя противоинтуитивным образом, когда возникает парадокс. Но излишняя профилактическая гигиена здесь излишня — никто еще не заболел! Разумеется, если логический кризис рано или поздно происходит, его следует исследовать, а аргументы прояснить, но и этот процесс может быть проделан интуитивно и неформально. Дух математики как раз и состоит в этом диалоге со своим собственным доказательством.

Дети не только запутываются этим педантизмом — ведь нет ничего более непонятного, чем доказательство очевидного — но даже те, чья интуиция еще пока цела, вынуждены переводить их отличные, прекрасные идеи на этот язык абсурдных иероглифов, который учитель называет «верным». Учитель же льстит себе, полагая, что это каким-то неизвестным образом «оттачивает ум» ученика.

В качестве более серьезного примера, рассмотрим случай треугольника в полукруге.



Чудесная закономерность в этом геометрическом узоре состоит в том, что, куда бы вы ни поместили вершину треугольника, угол при этой вершине всегда будет прямым.



В этом случае наша интуиция находится в сомнении. Вовсе даже и не ясно, что это утверждение всегда истинно, даже и не похоже на то — разве не должен угол меняться, когда мы двигаем вершину треугольника по окружности? Это замечательная задача! Всегда ли угол прямой? Если да, почему? Какая чудесная самостоятельная работа! Какая чудесная возможность проявить смекалку и воображение! Разумеется, такой возможности ученикам не дают, и их интерес немедленно сбивается нижеследующим:



Возможно ли что-нибудь более непривлекательное и неэлегантное? Можно ли было сделать доказательство более запутанным и нечитабельным?
Это не математика!
Доказательство должно быть посланием богов, а не телеграммой Алекса Юстасу!
Вот к чему приводит неуемное чувство строгости: к мерзости.
Дух доказательства похоронен под грудой путаного формализма.

Математики так не работают.
Ни один математик никогда так не работал.
Это полное и окончательное непонимание предприятия математики. Математика не занимается возведением барьеров между нами и нашей интуицией, чтобы сделать простое сложным.
Математика убирает препятствия нашей интуиции, и сохраняет простое простым.

Сравните эту мешанину со следующим рассуждением одного моего семиклассника:



Возьмем треугольник и перевернем его внутри круга так, что получится четырехугольник, вписанный в круг. Поскольку мы перевернули треугольник, противоположные стороны четырехугольника равны, то есть это параллелограмм. Но он не может быть наклонным, потому что его обе диагонали — диаметры круга, и, следовательно, равны. Значит, это прямоугольник, и все его углы прямые. Вот почему угол треугольника всегда прямой.

Разве не восхитительно? Моя цель не сравнить, какое из двух рассуждений лучше как идея, а показать, насколько идея видна только во втором. (На самом деле, идея первого доказательства тоже хороша, но она едва проступает через эту запись, словно через закопченное стекло.)

Еще важнее то, что это собственная идея ученика. У класса была замечательная задача, над которой дети работали, разрабатывали свои предположения, пытались вывести доказательства, и это то, что в конце концов привел один из учеников. Разумеется, это заняло несколько дней, и получилось только в результате долгой череды неудач.

Честно говоря, я изрядно перефразировал доказательство.
Оригинал был куда более запутанным и содержал множество ненужных слов (и грамматических и орфографических ошибок).
Тем не менее, я понял его.
И все эти дефекты были только к лучшему — мне, как учителю, они тоже дали понять кое-что важное.
Я указал на несколько стилистических и логических неточностей, и ученик смог исправить их.
Например, я был недоволен утверждением о том, что обе диагонали — диаметры, мне не казалось это полностью очевидным — но это лишь означало, что мы должны были извлечь что-то из понимания ситуации.

Ученик прекрасно справился и с этой проблемой:

Поскольку треугольник повернут ровно на половину оборота, вершина должна находиться напротив того места, откуда мы начали его поворачивать. Вот почему обе диагонали четырехугольника — диаметры.


Вот такая замечательная работа и прекрасная математика — даже не знаю, кто был более горд результатом: ученик или я. Вот пример именно того опыта, какому я хотел бы научить всех своих учеников.

* * *

Проблема со стандартной программой геометрии в том, что опыт самостоятельного терзающегося художника в нем отсутствует. Искусство доказательства заменено бланком установленной формы для пошагового вывода. Учебник приводит набор определений, теорем, доказательств, учитель переносит их на доску, ученики переписывают их в тетради. Детей учат повторять эти доказательства в их упражнениях. Те, кто обучаются этому повторению быстро, называются «хорошими учениками».

В результате ученик становится пассивным участником творческого акта. Ученики делают утверждения, чтобы заполнить графы в этом бланке доказательства, не потому, что они хотят именно это выразить. Они не строят аргументов — они обезьянничают, копируя аргументы. Таким образом, они не только не понимают, что говорит учитель — они не понимают, что говорят сами.

Даже традиционный способ, которым представляются доказательства — ложь.
Перед броском в каскад пропозиций и теорем вводятся определения, чтобы сделать доказательства возможно более краткими, как бы создавая иллюзию ясности.
На поверхностный взгляд затея выглядит невинной: почему бы и не ввести список сокращений, чтобы говорить далее экономичнее?

Проблема кроется в том, что определения важны.
Они должны происходить эстетически обоснованно из того, что вы, создатель произведения искусства, считаете важным.
И они должны быть вызваны задачей.
Определения должны привлекать внимание к свойствам объектов и структуры задачи.
Исторически это происходило как результат работы над задачей, а не как прелюдия к ней.

Вы не начинаете работы с определений — вы начинаете ее с задачи. Никому в голову не приходила идея, что число может быть «иррациональным», до тех пор, пока Пифагор не попытался вычислить диагональ квадрата и не пришел к выводу, что она непредставима дробью.
Определения имеют смысл, когда вы достигаете в работе той точки, где требуется осмысленное различение сущностей. Немотивированные же определения, напротив, скорее вызовут путаницу.

Это еще один пример того, как от учеников скрывают математический процесс, и исключают их из него. Ученики должны уметь вводить свои собственные определения по необходимости — чтобы самим ограничить обсуждаемое. Я не хочу, чтобы ученики говорили «определение», «теорема», «доказательство» — только «мое определение», «моя теорема», «мое доказательство».

Еще одна серьезная проблема с такой подачей материала в том, что она скучна. Эффективность и экономия противостоят хорошему преподаванию. Уверен, что Евклиду такая система не понравилась бы, и точно знаю, что ее не одобрил бы Архимед.



Симплицио. Подожди-ка минуточку. Не знаю, как тебе, а вот мне нравились уроки геометрии. Мне нравилась структура, нравилось доказательство в строгой форме.

Сальвиати. Не сомневаюсь, что так и было. Уверен, что ты иногда даже решал интересные задачи. Многим нравятся уроки геометрии (хотя куда более многие терпеть их не могут). Но это не аргумент в защиту существующего режима. Скорее, это яркое свидетельство притягательности самой математики. Сложно разломать нечто столь прекрасное: даже слабая тень ее будет и манить, и вознаграждать. Многим нравится и раскраски раскрашивать, ведь это расслабляющее и разноцветное рукоделие. Но они от этого живописью не делаются.



Симплицио. Но говорю же тебе: мне нравилась геометрия.

Сальвиати. И если бы у тебя случился более естественный математический опыт, тебе бы он понравился еще больше.



Симплицио. Значит, нам просто нужно организовать свободное от планов математическое путешествие, и ученики научатся тому, чему уж они научатся?

Сальвиати. Вот именно. Задачи ведут к другим задачам, техника вырабатывается по мере надобности, а новые темы возникают естественным образом. И если какой-то вопрос так и не возникнет за тринадцать лет обучения, насколько же он тогда интересен?



Симплицио. Да ты совсем с ума сошел!

Сальвиати. Возможно. Но даже работая в обычных рамках, хороший учитель может направлять обсуждение и переходить от задачи к задаче так, чтобы ученики могли открывать и изобретать для себя математику. Беда в том, что бюрократия не позволяет отдельному учителю это делать. При жестком наборе программ учитель не может вести за собой. Не должно быть стандартов, и не должно быть программ — только личности, делающие по собственному разумению лучшее возможное для учеников.



Симплицио. Но как тогда школы могут гарантировать одинаковые базовые знания учеников? Как мы сможем точно и объективно сравнить их?

Сальвиати. Никак, и мы не будем их сравнивать — все будет так, как бывает на самом деле. Рано или поздно ты оказываешься перед тем фактом, что люди все разные — и это хорошо. Как бы там ни было, но никакого давления на самом деле нет. Допустим, ученик оканчивает среднюю школу, не помня формул синуса и косинуса двойного угла (как будто выпускники их сейчас помнят). Ну и что? По крайней мере, у выпускника будет правильное понятие о настоящем предмете математики, по крайней мере он увидит нечто прекрасное!


Заключение

Завершая эту критику стандартной школьной программы, я хотел бы представить в помощь обществу первую до конца честную школьную программу по математике для всех классов.


Начальная школа

Начальное запаривание мозгов. Ученики постигнут, что математика — это не то, что ты делаешь, а то, что делают за тебя. Внимание уделяется дисциплине на занятиях, аккуратному заполнению прописей и тщательному исполнению инструкций. Дети изучат сложную систему алгоритмов для манипуляции символами непонятного алфавита, не имеющую отношения к тому, что им интересно и любопытно, несколько столетий назад считавшуюся слишком сложной для среднего взрослого. Особые усилия прикладываются к заучиванию таблицы умножения, а также к родителям, учителям и самим ученикам.


Средняя школа

Ученики обучатся взгляду на математику как совокупность шаманских ритуалов, вечных и неизменных.
Ученикам будут выданы Священные Таблички учебников, и они обучаются говорить о старейших шаманах в третьем лице (например, «чего от меня хотят? они хотят, чтобы я что поделил?»). Искусственные, вымученные «текстовые задачи» будут введены, чтобы, по сравнению с ними, безумная зубрежка арифметики показалась приятной и интеллектуальной. Ученики сдают экзамены на знание бессмысленных технических терминов, таких, как «целое число», «правильная дробь», вводимых без малейших на то причин. Данный курс полностью подготовит ученика к курсу алгебры-1.


Алгебра-1

Чтобы избежать потерь времени на размышления над числами и закономерностями, курс построен вокруг символов и правил манипуляции ими.
Плавное и постепенное введение в предмет, начиная с задач месопотамских табличек и заканчивая высоким искусством алгебры эпохи Возрождения, заменяется фрагментарным постмодернистским пересказом без действующих лиц, сюжета и линии повествования. Требование записывать все числа и выражения в стандартной форме создаст дополнительные трудности в понимании смысла тождества и равенства. Ученики по непонятной причине также заучат наизусть формулу для решений квадратного уравнения.


Геометрия

Не связанный с остальной программой, этот курс даст ученикам надежду на осмысленные математические действия, а затем не оправдает эту надежду. В курсе дается неуклюжая и непонятная система записи. Ученики будут напряженно работать над запутыванием простого до сложного. Целью курса является изведение остатков естественного математического любопытства для подготовки к курсу алгебры-2.


Алгебра-2

Предметом курса является немотивированное и неуместное применение аналитической геометрии. Конические сечения вводятся в системе координат, надежно скрывающей их простоту и эстетику. Учащиеся обучатся переписывать квадратичные формы в различные стандартные форматы без какой-либо цели. В курсе также вводятся экспоненциальные и логарифмические функции, несмотря на то, что они не являются алгебраическими объектами, просто потому, что больше их воткнуть было некуда. Название курса выбрано с целью закрепить мифологию о лестнице. Почему между алгеброй-1 и алгеброй-2 включается геометрия, в курсе не рассматривается.


Тригонометрия

Две недели содержания курса растянуты на полугодие самоценной игрой в определения. Интересные и красивые явления, например, как стороны треугольника зависят от его углов, будут даны с упором на бесполезные сокращения и устаревшие обозначения, чтобы не допустить возникновения у учащихся ясной идеи о предмете. Учащиеся изучат также бесполезные мнемоники17, заменяющие естественные и интуитивные понятия о симметрии. Измерение треугольников объясняется без упоминания трансцендентности тригонометрических функций, а также лингвистических и философских проблем, возникающих при подобных измерениях. Калькуляторы обязательны, чтобы запутать эту тему еще больше.


Начала анализа

Курс представляет собой винегрет из несвязанных между собою тем. Производится безуспешная попытка дать ученикам понятия о методах мат. анализа второй половины XIX в. на совершенно неподходящих примерах. Вводятся технические определения предела и непрерывности, заменяющие собою интуитивно ясное понятие плавного изменения. Как показывает название курса, он предназначен для подготовки учащихся к полному курсу мат. анализа, в котором будет завершено систематическое затуманивание идей формы и движения.


Мат. анализ

Курс предназначен для изучения математики движения и лучшего способа похоронить ее под горой формализма. Несмотря на то, что курс является введением в дифференциальное и интегральное исчисление, простые и глубокие идеи Лейбница и Ньютона будут заменены более сложным функциональным подходом, разработанным в ответ на некоторые аналитические кризисы, которые не относятся к данному уровню изложения и, разумеется, не будут упомянуты. Этот курс будет также слово в слово повторен в колледже.

* * *

Итак, перед вами рецепт для неизлечимого поражения юных умов, надежное излечение от любознательности. Что же они сделали с математикой!

В математике, древней форме искусства, есть и захватывающая дух глубина, и щемящая сердце красота — а вышло так, что люди противопоставляют математику творчеству. Они проходят мимо формы искусства, что древнее книги, глубже поэмы и абстрактнее любой абстракции. И ведет их именно школа! О скорбный замкнутый круг невинных учителей, несущих беду невинным ученикам! А ведь нам могло бы быть весело и интересно.



Симплицио. Ты огорчил меня изрядно. И что же дальше?

Сальвиати. Кажется, у меня есть одна интересная идея насчет пирамиды в кубе…



↑ 1. Сетевой журнал «Американской математической ассоциации» (The Mathematical Association of America, MAA).

↑ 2. Эрнст Гэйбор Штраус (Ernst Gabor Straus, 1922—1983), американский математик германского происхождения, соавтор, в числе прочих, Эрдёша и Эйнштейна.

↑ 3. Пол Эрдёш (Erdős Pál, 1913—1996), один из самых знаменитых и эксцентричных математиков XX в. Принимается за точку отсчета «числа Эрдёша».

↑ 4. Кит Дж. Девлин (Keith J. Devlin), американский и английский математик и популяризатор математики.

↑ 5. Речь здесь идет об американском повальном увлечении 50-х гг. XX в., наборах-раскрасках Paint-By-Number, то есть «рисуй по номеру». В наборы входила собственно раскраска, подложка будущей «картины» с нанесенным на ней контуром и номерами в каждой области, пронумерованные баночки с красками и кисти. «Написанные» «картины» обрамляли и вывешивали на стену.

Поразительным в этом нехитром хобби былa развившаяся с ним философия «демократического» искусства», утверждавшая, что художником может быть каждый. Говорят, что в 50-х на стенах американских домов висело больше раскрасок, чем настоящих картин. Апофеозом этой художественной лихорадки стала выставка в Белом Доме этих «картин», раскрашенных чиновниками администрации Эйзенхауэра. Президент, по счастью, в художественную струю не влился.

Примеры раскрасок можно найти в виртуальном «музее» Le salon de Paint-By-Numbers. Читателя заинтересовавшегося этим увлечением как социальным явлением отсылаем к исследованию: Marling, Karal Ann. Hyphenated Culture: Painting by Numbers in the New Age of Leisure, in Marling, As Seen on TV: The Visual Culture of Everyday Life in the 1950s. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1994, и более популярной книге Bird, William. Paint by Number: The How-To Craze that Swept the Nation. New York: Princeton Architectural Press, 2001. ↑

↑ 6. В американской школьной системе успешно законченные факультативные классы углубленного изучения добавляют баллов при поступлении в вуз.

↑ 7. На Западе науки делятся на естественные (sciences) и гуманитарные (humanities); математика не считается частью ни того, ни другого.

↑ 8. Харди, Годфри Гарольд (Godfrey Harold Hardy, 1877—1947) — знаменитый английский математик.

↑ 9. Диалоги Локхарта ведут два философа из знаменитого труда Галилео Галилея «Диалог о двух главнейших системах мира» (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo) Сальвиати — прогрессивный философ, излагающий гелиоцентрическую систему мира и пытающийся убедить ретрограда Симплицио. Издание «Диалога» в пер. А.И.Долгова (М., Ленинград : ОГИЗ — СССР, 1948) имеется в Сети.

↑ 10. В старших классах американской школы часть предметов обязательна, а остальные выбираются учащимися из списка, обычно по интересам и будущей специальности.

↑ 11. Евдокс Книдский (Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, Eudoxus of Cnydus, 408—355 до н. э.) — древнегреческий философ, астроном и геометр, ученик Платона. Разработал метод исчерпывания для вычисления длины кривой.

↑ 12. «Ростки» (англ. Sprouts) — игра для двух противников, изобретенная Дж. Конвеем, математиком, придумавшим также знаменитый клеточный автомат «Жизнь». Гекс (англ. hex), го (англ. go), ним (англ. nim) — настольные игры. Перечисленные игры интересны (кроме, разумеется, собственно игры) их математическим исследованием.

↑ 13. Папирус Ахмеса (папирус Ринда, англ. Rhind papyrus) — древнеегипетский папирус с формулировкой математических задач, являющийся копией еще более древнего текста, написанного при Аменемхете III, т.е. ок, 1850 г. до н. э. Liber abaci (с лат. «Книга абака») — главный труд жизни Леонардо Фибоначчи (1202 г.). Ars magna (с лат. «Высокое искусство») — замечательный алгебраический трактат Джироламо Кардано (1545 г.).

↑ 14. Бертран Рассел (Bertrand Russell, 1872—1970) — английский философ, логик и математик.

↑ 15. Намек, несомненно, на слишком быстрое изменение правил математической записи — она столь строга, но меняется, тем не менее, едва ли не ежегодно.

↑ 16. Система записи, очевидно, такова: ∠APC обозначает угол APC, а m∠APC — величину угла APC. Знак = означает равенство и применяется только к численным величинам, напр., величинам углов, а знак ≅ обозначает конгруэнтность и применяется только к геометрическим объектам, напр., углам. Читателю в качестве головоломки предлагается выдумать систему еще ужаснее этой. Читателя же, собравшегося уже обвинить автора в утрированном преувеличении, переводчик, также знакомый с американской школьной системой, может заверить со всей серьезностью, что дела обстоят именно так.

↑ 17. Автор приводит в качестве примеров мнемоники All Students Take Calculus и SohCahToa. Читателя, не знакомого с этими мнемониками, мы призываем не знакомиться с ними и далее.
Беззастенчиво скопировано у fregimus


_________________
новый http://9e-maya.com/index.php?action=forum
резерв http://9e-maya.org/forum/index.php
http://www.igstab.net./
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
us998



Зарегистрирован: 05.12.2009
Сообщения: 8248
Откуда: СССР

СообщениеДобавлено: Ср Авг 17, 2011 9:11 pm    Заголовок сообщения: Ответить с цитатой

10 фактов о теории игр

http://ksonin.livejournal.com/387374.html
Цитата:
У "Троицкого варианта", главной газеты российских учёных,
http://trv-science.ru/
есть научно-развлекательная рубрика "10 фактов о ...", в которой самые разные специалисты пишут о своей науке десять отдельных фактов. Весной меня попросили написать об экономике, но это - 10 фактов об экономической науке - показалось мне слишком сложным. Может быть, Вальрас, Самуэльсон или Маскин могли бы взяться за такую задачу. Я взялся написать о теории игр, области математики, которая в последние тридцать лет стала основным источником инструментов в экономической теории и в той части политологии, которая занимается анализом избирательных систем.

Вот мои "десять фактов". Мне было бы очень интересно узнать, какие ещё факты кому кажутся интересными.

1. Первая статья по математической теории игр была написана Джоном фон Нейманом в 1928 г., а первая книга с систематическим изложением теории игр и подхода к анализу экономических проблем — в 1943 г. Ее фон Нейман написал вместе с Оскаром Моргенштерном; они вместе работали в Институте передовых исследований в Принстоне.

2. Чтобы определить игру, нужно описать множество игроков, множество стратегий каждого игрока и «платежи» — то, что получает каждый игрок при каждом наборе стратегий (по одной для каждого игрока). Ключевое понятие в теории игр, равновесие по Нэшу — такой набор стратегий, что ни один игрок, предполагая стратегии остальных игроков зафиксированными, не может поменять стратегию так, чтобы увеличить свой платеж». В общем случае это определение дал принстонский математик Джон Нэш, и он же доказал, что равновесие по Нэшу существует всегда (если дополнительно разрешить игрокам играть «смешанные стратегии» — лотереи на множестве стратегий). Статья Нэша с определением и доказательством существования заняла в Proceedings of the National Academy of Sciences одну страницу. То, что равновесие по Нэшу — важнейшая концепция современной экономической теории, подчеркнул Нобелевский комитет, присудив Нэшу премию в 1994 г.

3. В самых распространенных играх, шахматах и шашках, существует единственное равновесие по Нэшу, ограничение которого на каждую подыгру (поддерево «дерева игры», в которое можно развернуть любую игру, в которой игроки ходят по очереди) тоже является равновесием по Нэшу. Что является равновесным исходом шахмат, неизвестно, потому что дерево игры слишком велико, а для 64-клеточ-ных шашек равновесный исход, как было доказано несколько лет назад, — ничья. Чтобы изучать карточные игры («дурака», покер, преферанс и т. п.), необходимо добавить описание того, какому игроку и в какой момент доступна какая информация. Это стало возможным благодаря работам Райнхарда Зелтена и Джона Харшаньи, получившим Нобелевскую премию по экономике в 1994 г. вместе с Нэшем.

4. Основные вопросы, которыми занимались специалисты по теории игр в 1950-60-е, были связаны с внешней политикой, в частности ядерным сдерживанием и гонкой вооружений.

5. В главной экономической энциклопедии «New Palgrave Dictionary of Economics» есть статья, посвященная русскому специалисту по теории игр — Ольге Бондаревой. В России теорией игр занимаются в основном математики — Елена Яновская, Сергей Печерский, Виктория Крепс, Виктор Доманский, Леон Петросян в Петербурге, Виктор Васильев в Новосибирске, Николай Кукушкин и Владимир Данилов в Москве. Экономисты российского происхождения Илья Сегал и Михаил Островский, работающие в Стэнфордском университете, и Михаил Шварц из Yahoo! являются крупными специалистами по теории аукционов.

6. Во многих играх есть несколько «равноправных» равновесий. Одна из самых сложных тем в теории игр и одновременно в политологии — стратегический анализ голосований. Каждая избирательная система, каждая схема, по которой голосуют члены парламента, задает отдельную игру. Как раз в этих играх, как правило, есть несколько равновесий по Нэшу. Например, если парламент выбирает спикера большинством голосов и все без исключения парламентарии предпочитают кандидата А кандидату Б, то не только «все голосуют за А» — равновесие по Нэшу, но и «все голосуют за Б» — тоже.

7. С помощью теории игр экономисты моделируют все ситуации, в которых возникает стратегическое взаимодействие. В теории отраслевых рынков игры возникают везде, где на рынке присутствует более одной фирмы. Самый простой пример — «игра Штакельберга», в которой фирма-монополист выбирает стратегию, позволяющую сделать вход на рынок затруднительным, а другая фирма решает вопрос о том, стоит ли ей входить на рынок. Конкуренцию нескольких крупных фирм (например, МТС, Билайна и Мегафона) невозможно описать без теории игр, потому что основные мотивы фирм в такой ситуации — стратегические. Важно не только рассчитать результаты собственных шагов, но и учесть возможную реакцию конкурентов. Основные модели других разделов экономической теории, например теории фирмы (теории контрактов), которая изучает взаимоотношения между владельцами, менеджерами и работниками фирмы, тоже сделаны с помощью теории игр.

8. После 1994 г. за достижения в теории игр выдано несколько Нобелевских премий по экономике. В 2005 г. премию получили Томас Шеллинг, работы которого стали фундаментом современного стратегического анализа во внешней политике и в бизнесе, и Роберт Ауманн, подчеркнувший роль представлений игроков о том, что думают другие игроки. В 2007-м — Леонид Гурвиц, придавший точный математический смысл идее о том, что в плановой экономике невозможно создать правильные стимулы для экономических субъектов (что эквивалентно, в терминах теории игр, придумыванию игры, в которой участники, пользуясь своей личной информацией, приходят к тому самому результату, который нужен создателю игры), Эрик Маскин и Роджер Майерсон, сформулировавшие общую задачу создания правильных стимулов и создавшие попутно самую важную часть экономической теории последних десятилетий — теорию аукционов.

9. Крупнейшие аукционы по продаже радиоспектра для телекоммуникаций в Америке и Европе были организованы экономистами — специалистами по теории игр. Компания Market Design, созданная крупнейшими теоретиками, была консультантом чуть ли не во всех основных аукционах 1990-х. Ее создатели, специалисты, казалось бы, по чистой экономической теории, заработали миллионы долларов, консультируя организаторов аукционов и фирмы-участники.

10. В замечательном фильме «Игры разума», художественной интерпретации еще более замечательной документальной биографии Джона Нэша «A Beautiful Mind», написанной Сильвией Назар, концепция равновесия по Нэшу проиллюстрирована неправильно. Сцена с блондинкой в баре не описывает, вопреки мнению главного героя, равновесие по Нэшу.


Цитата:
From: [info]gaus
Date: Август, 17, 2011 19:34 (UTC)
Я рассуждал так:

Если есть четыре агента, все они риск-нейтральны, блондинка выбирает равномерным случайным образом одного из четырех, при этом каждую из её подружек агенты ценят меньше, чем в четверть блондинки, то это не игра, а decision problem. Каждому агенту ex-ante выгоднее попытать счастья с блондинкой.

Можно принять другое предположение о поведении блондинки: если она получает одно предложение, то она его принимает, а если больше одного, то отвергает все. Тогда всем обращаться к блондинке - это не равновесие. Равновесий в чистых стратегиях четыре - один из агентов идет к блондинке, остальные - к подружкам. Наверняка ещё смешанные есть.

Цитата:
From: [info]temp1
Date: Август, 17, 2011 17:41 (UTC)
А есть книга-задачник с разбором конкретных приложений ТИ желательно с Реальными бизнес-ситуациями? Этакий сборник рецептов?


From: [info]rombiknapuze
Date: Август, 17, 2011 21:01 (UTC)
Есть. Автор Гинтис (Gintis), название не помню. Весьма толстая книга, состоящая в основном из задач, многие из них - с подробными решениями. Но реальных бизнес-ситуаций там, по-моему, не густо, в основном учебный материал.

_________________
новый http://9e-maya.com/index.php?action=forum
резерв http://9e-maya.org/forum/index.php
http://www.igstab.net./
Вернуться к началу
Посмотреть профиль Отправить личное сообщение
Показать сообщения:   
Этот форум закрыт, вы не можете писать новые сообщения и редактировать старые.   Эта тема закрыта, вы не можете писать ответы и редактировать сообщения.    Список форумов Война -> Научное Часовой пояс: GMT
Страница 1 из 1

 
Перейти:  
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете голосовать в опросах


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
subRed style by ktauber
Web Hosting Directory

Free Web Hosting | File Hosting | Photo Gallery | Matrimonial


Powered by PhpBB.BizHat.com, setup your forum now!
For Support, visit Forums.BizHat.com